01. Основное свойство дроби (Слупко М.В.)

Пример № 1 Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Рассмотрим дробь . У данной дроби знаменатель 5 – это значит, что объект разделили на пять частей. А числитель 2 указывает на то, что взяли только две части.

Например, определим  от ста рублей:

 (руб.)

Посмотрим на дробь . Эта дробь состоит из таких же долей, что и предыдущая (), но берем мы их четыре.

Вычислим  от ста рублей: (руб.)

Итак, и  , и   состоят из частей, только в первом случае мы взяли 2 таких части, а во втором – 4, поэтому , причем ровно в 2 раза.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, большая та, у которой числитель больше.

Пример № 2 Увеличение числителя

На уроке математики учитель написала на доске дробь и спросила, что произойдет, если числитель увеличить в два раза. 

Решение

1. Умножим числитель на два:

2. По аналогии с первым примером можно сказать, что дробь  в два раза больше, чем. Объяснением тому, послужит следующее утверждение. Обе эти дроби состоят из одинаковых частей () только в первом случае было пять частей – числитель пять, а во втором в два раза больше – числитель десять.

Задание № 1 Увеличение числителя

Увеличьте дроби в три раза: .

Решение

1. Чтобы увеличить дробь в несколько раз, нужно числитель умножить на это количество раз.

2. Умножим восемь на три и получим дробь:

3. Умножим числитель последней дроби на три:

Пример № 3 Уменьшение числителя

Уменьшим дробь  в два раза. Для этого разделим числитель на два.

Проанализируем данную операцию. После того как мы разделили числитель на два, сама дробь уменьшилась в два раза.

Задание № 2 Уменьшение числителя

Уменьшите дроби в четыре раза: .

Решение

1. Чтобы уменьшить дробь в определенное количество раз, необходимо числитель разделить на это количество. Следовательно, восемь – числитель первой дроби – надо разделить на четыре.

2. Аналогично поступаем и со второй дробью.

3. Для решения разделим 100 на 4 и получим новую дробь:

Сделаем вывод: если числитель дроби увеличить в несколько раз, то сама дробь увеличится в это количество раз. Так, если числитель дроби уменьшить в какое-то количество раз, разделить на определенное число, то сама дробь уменьшится в это количество раз.

Пример № 4 Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Рассмотрим две дроби:  и . Какая больше, а какая меньше? Найдем  и  от 100 рублей.

 (руб.)

Теперь можно сравнить полученные числа.

Так, :   больше, чем в два раза.

Из двух дробей с одинаковыми числителями большая та, у которой знаменатель меньше.

Пример № 5 Увеличение знаменателя

На уроке математики учитель написала дробь и спросила, что произойдет, если знаменатель увеличить в два раза.

Решение

1. Умножим знаменатель на два.

2. Проанализируем. Так, новая дробь, в два раза меньше, чем исходная,.

Задание № 3 Увеличение знаменателя

Уменьшить дроби в три раза, изменив знаменатели: ,.

Решение

1. Чтобы уменьшить дроби в три раза, необходимо умножить их знаменатели на три.

2. Умножим двенадцать на три.

3. Проделаем такую же математическую операцию и с последней дробью.

Пример № 6 Уменьшение знаменателя

Уменьшим знаменатель  в два раза.

Теперь видим, что   в два раза меньше, чем  .

Задание № 4 Уменьшение знаменателя

Увеличь дроби в четыре раза, изменив знаменатели:  ,  ,  .

Решение

1. Для увеличения дроби в четыре раза путем изменения знаменателя необходимо знаменатель разделить на четыре:

2. Разделим на четыре знаменатель второй дроби:

3. Увеличим последнюю дробь в четыре раза:

Таким образом, уменьшая знаменатель в некоторое количество раз, мы увеличиваем саму дробь в это количество раз. Увеличиваясь в знаменателе в несколько раз, дробь уменьшается в это количество раз.

Обратим внимание на то, что, меняясь в числителе, дробь меняется в ту же сторону. Изменяясь в знаменателе, дробь меняется в обратную сторону.

Пример № 7 Умножение и деление дроби на одно и то же число

Рассмотрим дробь . Умножим и числитель, и знаменатель на два.

Теперь проанализируем, как изменилась дробь. Увеличиваясь в числителе в два раза, дробь должна увеличиваться в два раза, а увеличение знаменателя в два раза должно приводить к уменьшению дроби в два раза. Получается, что дробь одновременно увеличивается и уменьшается в два раза – это приводит к тому, что дробь не меняется.

Проверим данное утверждение. Вычислим каждую дробь от 100 рублей.

 (руб.)

 (руб.)

Следовательно, две дроби равны:

Таким образом, если одновременно и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число, то дробь не изменится.

1. Разделим числитель и знаменатель на 2, 4, 8 и 16.

Одновременное деление числителя и знаменателя на одно и то же число не изменяет дробь. Следовательно, все полученные дроби равны друг другу.

Выводы

Подытожим полученные знания. 

1. Если числитель дроби увеличить/уменьшить в несколько раз, то сама дробь увеличится/уменьшится во столько же раз соответственно: больше в с раз, чем

 меньше в с раз, чем

2. Если знаменатель дроби увеличить/уменьшить в несколько раз, то дробь уменьшится/увеличится во столько же раз соответственно:

 меньше в с раз, чем

 больше в с раз, чем

3. Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на определенное число, которое не равно нулю, то дробь от этого не изменится. Такие дроби называют эквивалентными:

Список литературы

1. Виленкин Н. Я. Математика. 6 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с. : ил. 

2. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина.

3. Истомина И. Б. Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «ru.solverbook.com» (Источник).

3. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Виленкин Н. Я. Математика. 6 класс: учеб. Для учащихся общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., стр. 34–35 чит., выучить правила, стр. 36 № 216, 217.

2. Увеличьте числители дробей в 3, 7 и 9 раз: ,,.

3. Уменьшите числители дробей в 2, 3 и 5 раз: ,,.    

4. Увеличьте знаменатели дробей в 1, 4 и 6 раз: ,,.

5. Уменьшите знаменатели дробей в 2, 4 и 7 раз: ,,.

6. * Укажите по три эквивалентные дроби данным.
   а)                   б)                 в)               г)