02. Отрицательные числа (Вольфсон Г.И.)

Введение

Вспомним, какие числа вы уже знаете. Начинали вы изучение с натуральных чисел, тех чисел, которые мы используем при счете, таких как 1, 2, 3, 4... и т. д. Потом выяснили, что таких чисел нам не хватает. Например, если разделить отрезок длины 1 пополам, то длина получившегося отрезка будет не целой. Так мы познакомились с дробными числами, такими как ,,. Итак, мы вспомнили, что есть натуральные и есть дробные числа, но выясняется, что и их не хватает. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

У вас есть 40 руб. и вы хотите купить мороженое за 20 руб. Сколько денег у вас останется после покупки?

Решение

Теперь представьте несколько иную ситуацию. У вас есть 20 руб., и вы хотите купить мороженое за 40 руб. Сколько тогда денег у вас останется?

Решение

Можно решить по аналогии: .

Но 20 меньше 40. И имея 20 руб., мороженое за 40 руб. купить нельзя. Можно занять 20 руб. и только тогда купить мороженое. Но что после этого останется?

Останется долг в 20 руб. Выразить числом этот долг можно, вводя отрицательные числа.

Аналогичные предпосылки возникают и на числовой оси.

Пример 2

Рассмотрим числовую ось

На ней отмечены натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. и начало в точке ноль. Также на соответствующих отрезках можем отметить числа,, и т. д.

Что означает, ? Это мы к 1 прибавляем три единицы и попадаем в точку 4.

Так, .

Точно так же мы можем сделать шаг в другую сторону. Например, что будет, если мы из 1 вычтем 3:

? Мы попадем в пустоту.

Здесь и находятся отрицательные числа, которые нам, безусловно, понадобятся.

Теперь мы можем их ввести. Но как же обозначаются отрицательные числа? Для этого вспомним, как обозначаются натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д.

Но что показывает число 2? Оно показывает, что от 0 до 2 помещается два единичных отрезка.

Если отложить такой же отрезок влево, мы получим расстояние от точки 0 ровно в один отрезок. Так мы получаем число 1. Но чтобы не путаться, для чисел слева придумали специальный знак «-», который мы ставим перед числом и получаем -1. Аналогично, следующее число будет -2 и т. д. То есть, если натуральные числа у нас обозначаются как 1, 2, 3 и т. д., то отрицательные как -1, -2, -3.

Есть число , для него существует противоположное число. Оно находится между -2 и -1 и равно -

Вернемся к первому примеру. У нас было 20 руб. и мы потратили 40 руб., у нас осталось -20 руб.

Как действовать с отрицательными числами, как их складывать, вычитать и т. д. – это темы более поздних уроков. А сейчас давайте подумаем, где же в реальной жизни применяются отрицательные числа?

Температура воздуха

На некоторых уличных градусниках температура показывается так: есть планка ноль градусов, есть то, что выше нуля – 1, 2, 3, и т. д, а есть то, что ниже нуля, и обозначается отрицательными числами -1, -2, -3 и т. д. (с

Еще -1 градус называют 1 градусом мороза, а +1 градус – одним градусом тепла. То есть и там, и там 1, но вместо знака минус мы употребляем слова «мороза». А когда не хотим употреблять, говорим: «Температура воздуха – -20 градусов».

Это и означает минус, что от нуля мы идем не вверх, а вниз.

Уровень воды в реке

Уровень воды в реке.

Как вы знаете, уровень воды в реке может повышаться и понижаться. Так вот, если уровень воды повысился на 5 см, говорят: «Изменился на +5 см».

Если же он понизился на 5 см, то говорят «Уровень воды изменился на -5 см».

И там, и там уровень воды изменился на 5 см, но, когда он повысился, говорят на +5 см, а, когда понизился – на -5 см.

Как вы видите, отрицательные числа применяются там, где величина может изменяться в обе стороны. То есть, когда мы говорили о денежных расчетах, у вас может оставаться сдача – это «+», а если вы кому-то должны, то это «-». Температура может быть выше нуля – это «+», и ниже нуля – это «-». Уровень воды может повышаться – «+», и понижаться – «-».

Рассмотрим еще один пример.

Пример 3

Предприниматель владеет фирмой по продаже яблок, и в январе он заработал чистой прибыли 500 руб., а в феврале – 800 руб. В марте яблоки покупали хуже, и он остался в убытке, а именно его прибыль составила -200 руб.

Для того чтобы посчитать сумму, которую предприниматель заработал за 3 месяца, нужно сложить всю его прибыль:

Более подобно о действиях с отрицательными числами можно ознакомиться в следующих уроках.

Подведение итогов

Сегодня мы выяснили, что тех чисел, которые мы знали до этого – натуральных (1, 2, 3 … и т. д.) и дробных , не хватает для некоторых практических целей, поэтому мы ввели отрицательные (-1, -2, -3… и т. д.).

Отрицательные числа на числовой оси находятся слева от нуля. Могут быть не только целые отрицательные числа, но и дробные. И мы выяснили, где могут возникать отрицательные числа, а именно там, где величина может быть увеличена и уменьшена. Так было при измерении температуры, уровня воды и измерении доходов и расходов.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «nekin.info» (Источник).

Домашнее задание

1. Подумайте, где еще в повседневной жизни мы сталкиваемся с отрицательными числами.

2. Расставьте синие числа в порядке возрастания, а красные – в порядке убывания.

Таблица 1

3. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха  в гнезде температура не ниже . На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?