01. Параллельные и перпендикулярные прямые

Введение

Все вы помните, что такое прямой угол. В математике и в жизни прямые углы встречаются довольно часто. Если вы рассмотрите квадрат, то заметите, что стороны квадрата пересекаются под прямым углом. Если рассмотреть железнодорожное полотно, можно увидеть, что рельсы и шпалы расположены под прямым углом друг относительно друга; стены дома чаще всего делают под прямым углом к фундаменту и т. д.

Перпендикулярность прямых, отрезков и лучей

В математике есть специальное обозначение для прямых, которые пересекаются под прямым углом. Такие прямые называют перпендикулярными. Записывают это так:. Читается: «a перпендикулярна b».

Перпендикулярными бывают и отрезки. Отрезки называются перпендикулярными, когда прямые, которые их содержат, перпендикулярны. Данное утверждение легко понять, вспомнив квадрат – прямые, содержащие соседние стороны квадрата, перпендикулярны, значит, и отрезки (стороны) перпендикулярны.

Отрезки, представленные на рисунке 1, также перпендикулярны. Почему?

Если эти отрезки продлить до прямых, то прямые пересекутся под прямым углом. Значит, если прямые перпендикулярны, то и отрезки тоже перпендикулярны, хотя и не пересекаются.

Лучи называют перпендикулярными, если прямые, содержащие эти лучи, перпендикулярны.

Построение перпендикулярных прямых

Есть несколько способов:

1. С помощью чертежного угольника, т. к. две его стороны образуют прямой угол.

2. С помощью транспортира – отметить угол 90° и провести прямые, которые его образуют.

3. С помощью циркуля и линейки (с этим способом вы познакомитесь в 7 классе).

Особенность перпендикулярных прямых

Почему именно такой тип прямых выделили в отдельный класс? Почему не говорим отдельно о прямых, которые просто пересекаются друг с другом под каким-то другим углом, например 60°? Ответ следующий. При пересечении прямых у нас образуются углы, чаще всего они не равны.

Но если мы говорим о перпендикулярных прямых, то это единственный случай, когда образовавшиеся углы равны между собой – все они прямые.

Именно поэтому эти прямые и выделили, тем более в жизни мы с ними сталкиваемся чаще, чем с прямыми, пересекающимися под каким-либо другим углом.

Вопросы, связанные с перпендикулярными прямыми

1. На некоторой прямой отметили точку.

Сколько прямых можно провести через эту точку так, чтобы они были перпендикулярны исходной прямой? Ответ: только одну. Нужно приложить угольник и провести соответствующую прямую.

2. Дана прямая и точка вне её.

Сколько прямых проходят через эту точку так, что они перпендикулярны исходной прямой? Ответ: одна прямая. Опять же, это можно сделать с помощью угольника.

Параллельность прямых, отрезков и лучей

Мы говорили о пересекающихся прямых. Но бывает же так, что прямые не пересекаются. С этим мы сталкиваемся и в жизни – у лыжников во время спуска правая лыжня и левая не пересекаются; или дорожки в бассейне – они также не пересекаются; или железнодорожное полотно – рельсы не пересекаются. Для непересекающихся прямых также есть специальное название. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Очень важно здесь добавить «на плоскости», потому что, когда в 10 классе вы столкнетесь с прямыми в пространстве, окажется, что есть прямые, которые не пересекаются, но и не являются параллельными. Сейчас же речь идет о плоскости, и на плоскости есть два случая: прямые либо пересекаются, либо параллельны (не пересекаются).

Для параллельных прямых есть специальная запись: . Читается: «a параллельна b».

По аналогии с перпендикулярными отрезками и лучами имеются также определения параллельных отрезков и лучей. Отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Лучи называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Таким образом, когда мы говорим о дорожках в бассейне, речь идет скорее о параллельных отрезках (дорожки ограничены), нежели о прямых.

Вопросы, связанные с параллельными прямыми

Верно ли, что если два отрезка не пересекаются, то они параллельны? Ответ: нет, не верно. Приведем контрпример.

Эти два отрезка не пересекаются, но они не являются параллельными, т. к. прямые, содержащие их, пересекаются. Аналогично с лучами – если лучи не пересекаются, они не обязательно параллельны.

Примеры, которые мы приводили в начале урока, также могут быть контрпримерами – лучи и отрезки не пересекались, но и не являлись параллельными, потому что они перпендикулярны

Построение параллельных прямых

Рассмотрим конструкцию, состоящую из трех прямых , где.

Тогда что мы можем сказать про прямые a и c? Судя по картинке, они параллельны. Доказать мы этого пока не можем, но тем не менее это как раз и есть способ построения параллельных прямых. То есть параллельные прямые строятся через перпендикулярность – сначала проводят прямую, перпендикулярную исходной, (в нашем случае ), а потом проводят прямую, перпендикулярную второй (в нашем случае).

Отметим, что из указанных фактов следует параллельность противоположных сторон квадрата и прямоугольника – они перпендикулярны одной и той же стороне.

Есть еще один интересный факт. Проведем две параллельные прямые, а также третью прямую, которая параллельна первой, то есть

Судя по рисунку тоже. Этот факт верен, но, опять же, доказывать мы его будем в 7 классе.

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятиями параллельных и перпендикулярных прямых; мы выяснили, какие отрезки и лучи называют перпендикулярными, а какие – параллельными; узнали, как строятся перпендикулярные прямые.

Список литературы

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.

2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч.2 – 128 с.

3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «shkolo.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «shkolo.ru» (Источник).

Домашнее задание

• Найдите перпендикулярные отрезки

• Дан шестиугольник . Укажите сторону, параллельную стороне .

• Сколько параллельных прямых данной прямой можно провести через данную точку?