03. Применение распределительного свойства умножения

На этом уроке мы рассмотрим распределительное свойство умножения, которое называется распределительным законом. Узнаем, для чего применяется этот закон и в каких случаях уместно применение данного закона, а в каких нет. Также мы рассмотрим несколько примеров вычисления выражений с помощью распределительного свойства умножения.

Распределительный закон

Выражение и выражение являются эквивалентными — означают одно и то же, то есть:

Это означает, что можно умножать всю сумму на число, а можно на это число умножать каждое слагаемое отдельно. Результат будет одинаков.

Это верно и для большего числа слагаемых:

Можно  умножить на сумму пяти чисел, либо на каждое слагаемое по отдельности и потом сложить.

Мы можем переходить от первого выражения ко второму или от второго к первому.

Переход от первого выражения ко второму называется раскрытием скобок:

А переход от второго к первому — вынесением общего множителя за скобки:

Само равенство этих выражений называют распределительным законом.

Зададимся вопросом: «Когда этот распределительный закон, это свойство, удобно использовать?».

При перемножении двух чисел в уме.

Пример 1

1) Выполните умножение:

Здесь вроде бы нет суммы и непонятно, почему речь идёт о распределительном законе. На самом деле, если переписать число 12 как , то мы уже получаем сумму, умноженную на число. И здесь мы можем применить распределительный закон. Сами вычисления станут проще.

Если удобно, то можно записать какое-нибудь число в виде разности.

2) Выполните умножение: 

Число 49 можно представить как разность чисел 50 и 1. Далее воспользуемся распределительным законом и получим ответ.

Задание для самостоятельного выполнения 

Сейчас давайте потренируемся. В уме выполните вычисления, запишите результат на листок. После этого ниже выполните проверку.

Задача 1. Выполните умножение с помощью распределительного закона.

1)

2)

Умножение смешанной дроби на число с помощью распределительного закона

Мы помним, что смешанное число — это просто запись суммы целого числа и дробного числа.

Давайте смешанную дробь умножим на число:

У нас есть два варианта как поступить.

1 способ:

Можно смешанную дробь записать в виде обыкновенной неправильной дроби. После этого обыкновенную дробь умножить на 4:

2 способ:

Можно поступить намного проще. Смешанная дробь — это запись суммы целого и дробного числа, поэтому можно поставить знак плюс между целой и дробной частью. Далее воспользуемся распределительным свойством:

Задание для самостоятельного выполнения

Снова потренируемся. Выполните самостоятельно умножение, затем ниже проверьте.

Задача 2. Выполните умножение.

1)

2)

3)

Итак, когда же всё-таки стоит применять распределительный закон, вот это распределительное свойство? Переходить от одной записи к другой?

Ответ очевиден.

Если после применения распределительного свойства, вычисления упрощаются, то применяем этот закон. Если применение распределительного закона ничего не упрощает, то не нужно его и использовать.

Напоследок рассмотрим два примера, где в первом случае будет обоснованным использование распределительного свойства, а во втором — нет.

Пример 2

1)

У нас как обычно два варианта, как поступить. Мы можем сложить две дроби и потом полученную сумму умножить на 26. Или применить распределительный закон, умножив каждое слагаемое на 26. Легко заметить, что приумножении на 26 обеих дробей можно будет сократить, поэтому удобнее раскрыть скобки, то есть применить распределительный закон.

2)

Пример очень похож на предыдущий, но если раскрыть скобки, то ничего не сократится, а вид дробей только станет сложнее:

Смысла раскрывать скобки нет, применять распределительный закон мы с вами не будем.

Произведём сначала сложение двух дробей. Для этого приведём их сначала к общему знаменателю. Затем выполним умножение на 5:

Заключение

Сегодня мы рассмотрели распределительное свойство умножения. Узнали, что его удобно использовать при перемножении двух чисел в уме и при умножении смешанной дроби на число, в том случае если свойство упростит вычисления.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

Проверьте себя

1. Найдите значение выражения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) 

9) 

2. Решите уравнение:

1)

2)

3. Продолжительность жизни сибирской пихты составляет 150 лет. Сосна живёт в   раза дольше пихты, а дуб живёт в 5 раз дольше сосны. Какова продолжительность жизни дуба?