05. Приведение дробей к общему знаменателю (Слупко М. В.)

Введение. Представление числа

Посмотрите, это две книги или одна? Книга одна, формы разные. В одних случаях удобна одна форма, в других другая.

Сегодня мы будем говорить об эквивалентных обозначениях одного и того же количества.

Вот два мешка. В одном 2 пуда зерна, в другом 32 кг. Это одно и то же количество, обозначения разные.

Добавим в каждый мешок по 3 кг. В первом мешке у нас 2 пуда и 3 кг. Во втором – 35 кг.

Какая запись проще? Понятно, вторая.

Представлять нецелые числа удобнее с помощью дробей. Одно и то же нецелое количество можно обозначить разными дробями. Так, половину торта мы можем получить, разделив торт на две части и взяв из них одну, а можно разделить на 6 частей и взять три.  и являются эквивалентными дробями:

Пусть теперь нам нужно сложить  торта и торта.

В таком виде нам это сделать не удается (это все равно как складывать пуды и килограммы). Мы можем складывать одинаковые части, например, шестые. Заменим   эквивалентной дробью .

Теперь мы складываем дроби с одинаковым знаменателем: .

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Пример 1. Вычислите: .

Решение

Выпишем для каждой дроби несколько эквивалентных и выберем те, что имеют одинаковые знаменатели:

Теперь легко выполнять вычисления, заменив исходные дроби эквивалентными:

Сама процедура замены дробей эквивалентными, но уже с одинаковыми знаменателями так и называется «приведение дробей к общему знаменателю».

Итак, чтобы сравнить две дроби, сложить или вычесть одну из другой, мы приводим их к общему знаменателю.

Как привести дроби к общему знаменателю. Количество общих знаменателей для двух дробей

Способ 1.

Первый способ мы уже рассмотрели в наших рассуждениях. Для каждой дроби начинаем выписывать эквивалентные дроби, умножая числитель и знаменатель на 2, 3, 4 и т.д. Потом выбираем те, которые имеют общие знаменатели.

Пример. Выполнить сложение:.

Решение

Сначала запишем цепочку эквивалентных дробей для , для этого числитель и знаменатель дроби домножим на 2, 3, 4 и т.д.

То же самое проделаем для дроби .

Как видим, есть совпадение знаменателей ( и). Заменяем теперь исходные дроби эквивалентными и выполняем вычисления:.

Способ 2.

В качестве общего знаменателя можно также использовать произведение знаменателей исходных дробей.

Пример. Вычтите.

Решение

Приведем дроби  и  к знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 12, а второй – на 16. Не торопитесь выполнять умножение в знаменателе, это мы сделаем в самом конце.

Точно так же, как мы умножали числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, мы можем и поделить их на одно и то же число. Такая процедура называется сокращением. В нашем примере числитель и знаменатель делятся на 8, выполним деление:

Сократить дробь – означает разделить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, не равное 0.

Давайте теперь подумаем, сколько существует общих знаменателей для двух дробей.

Какой общий знаменатель у дробей  и ?

Выпишем цепочку эквивалентных дробей дляй  и : 

Мы видим несколько пар дробей с одинаковыми знаменателями ( и, и, и). Если мы продолжим дальше цепочки эквивалентных дробей, то получим бесконечное множество таких совпадений знаменателей.

То есть общих знаменателей бесконечно много. Нам подходит любой.

Например, произведение знаменателей исходных дробей – это общий знаменатель, однако, не самый меньший.

Приведение дробей к общему знаменателю двумя способами

Найти значение выражения:.

1 способ.

Воспользуемся нашим правилом: произведение знаменателей является общим знаменателем дробей. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 105, а второй – на 70. Не торопимся выполнять умножение в знаменателе, нам легче будет сокращать.

Как мы видим, числа 595 и 105 заканчиваются на 5, а значит, делятся на 5, то есть мы можем сократить дробь.

Также заметим, что числитель и знаменатель делятся на 7, и сократим дробь:

2 способ.

Выпишем цепочки эквивалентных дробей для  и.

Уже на этом этапе имеется совпадение знаменателей. Заменим дроби им эквивалентными:

Как видите, второй способ дал нам ответ быстрее, чем первый.

То есть сложить эти две дроби можно по-разному: способом произведения знаменателей или можно сразу было заметить, что есть общий знаменатель поменьше, а именно 210.

То есть мораль следующая:

• общих знаменателей у двух дробей бесконечное число,

• метод произведения знаменателей дает один из них, но не обязательно наименьший.

Наименьший общий знаменатель

Есть ли способ отыскания наименьшего общего знаменателя? Да, такой способ существует.

Пример 1. Вычислите значение выражения:.

Решение

Будем следовать рассмотренному алгоритму и выпишем цепочки эквивалентных дробей:

Можем ли мы как-то упростить наш алгоритм? Да, можем. Цепочка с бОльшим знаменателем короче, поэтому с ней и будем работать. Возьмем бОльший знаменатель и будем складывать его самого с собой (таким образом, мы не пропустим число 180), проверяя на каждом шаге, делится ли число на меньший знаменатель (45).

60 не делится на 45, значит, не будет являться общим знаменателем для исходных дробей.

 снова не делится на 45. Продолжаем прибавлять 60.

 делится на 45,.

Итак, мы проверяли все числа, которые делятся на 60, и дошли до первого, которое еще делится и на 45 тоже.

Таким образом, общий знаменатель – 180.

Этот метод легко использовать при устных вычислениях.

Пример 2. Вычислите значение выражения: .

Решение

Берем больший знаменатель (35) и складываем его с самим собой до тех пор, пока результат не будет делиться на меньший знаменатель (21).

35 не делится на 21.

 не делится на 21.

делится на 21 (), значит, 105 – общий знаменатель.

Приведем обе дроби к знаменателю 105, для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 5, а второй – на 3.

Примеры

Если знаменатель окажутся более громоздким, то такой способ будет затруднительно применять.

Пример 1. Вычислите значение выражения:.

Решение

Знаменатели большие, складывать сам собой больший знаменатель или использовать произведение знаменателей тяжело.

Что же можно сделать? Помним что, чтобы число  делилось на 210, оно должно содержать множитель 210. При этом само число раскладывается на множители.

Значит, все множители числа 210 содержатся и в числе . То же самое относится и к числу 1155.

Нам нужно найти такое число, которое содержит все множители числа 210 и числа 1155. Разложим каждое на множители:

Сконструируем необходимое число, содержащее все множители и первого, и второго чисел:

.

Не один из множителей убрать нельзя – это и есть наименьшее число, которое одновременно делиться на 210 и на 1155. Это наименьший общий знаменатель. Разложение на простые множители не только позволяет найти наименьший общий знаменатель, но и подсказывает, на какой множитель необходимо домножить каждую дробь. Так, в первом знаменателе до общего знаменателя не хватает множителя 11, а во втором – 2.

Пример 2. Вычислите значение выражения:

Решение

Раскладываем каждый знаменатель на множители.

Общий знаменатель:

Пример

Вычтите:

Решение

Сначала разложим каждый знаменатель на множители:

Конструируем наименьший общий знаменатель, он должен содержать все множители каждого знаменателя:

.

Значит, у первого знаменателя не хватает множителей 5 и 7, а у второго – 2 и 11.

Заключение

Итак, подведем итог.

Чтобы сравнить, сложить, вычесть из одной дроби другую, нужно привести их общему знаменателю.

Этот процесс раскладывается на два этапа:

1. найти общий знаменатель,

2. привести к этому общему знаменателю.

Общий знаменатель – это такое число, которое можно получить из исходных знаменателей домножением на какое-нибудь число.

Существует несколько приемов нахождения общего знаменателя. Использовать можно любой, в зависимости от ситуации.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013 – 288 с.: илл.

2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс – М.: Мнемозина.

3. Истомина И.Б. Математика, 6 класс – М.: Ассоциация ХХI век.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «onlinemschool.com» (Источник).

Домашнее задание

• Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 43-44 чит., ст. 45 № 278, 279.

• Какие существуют способы приведения дробей к общему знаменателю?

• Выполните вычисления удобным для вас способом:

а)                         б)

• * Проверьте, правильно ли выполнены вычисления:

а)              б)