01. Делители и кратные
14 мин
02. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
14 мин
03. Признаки делимости на 9 и на 3
14 мин
04. Простые и составные числа
7 мин
05. Разложение числа на множители
17 мин
06. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
26 мин
07. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Часть 1. НОД (Слупко М. В.)
26 мин
08. Наименьшее общее кратное (Вольфсон Г.И.)
23 мин
09. Наименьшее общее кратное (Богданович Е.М.)
12 мин
02. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Видео доступно по абонементу
Можно ли понять, делится одно число на другое, не выполняя деления? На этом уроке мы узнаем признаки делимости чисел на 2, на 5 и на 10.
Введение
Если мы на улице увидим очень высокого человека, то мы с большой вероятностью решим, что он баскетболист. Если мы увидим огромный камень, то мы подумаем, что мы не сможем его поднять, он слишком тяжелый для этого. Если мы посмотрим на число 252, то мы поймём, что оно делится на 2 ().
Во всех этих случаях мы не пробовали сделать это непосредственно. Мы не спрашивали у человека баскетболист он или нет, мы не пробовали поднять камень, мы не пробовали делить число на 2. Каждый раз мы использовали какие-то внешние признаки, по внешнему виду понимали, так это или нет.
Причём в первых двух случаях мы могли ошибиться, человек мог и не оказаться баскетболистом. Что касается примера с делимостью, число 252 абсолютно точно делится на 2. Мы использовали абсолютно точный признак делимости: любое число, которое оканчивается на 2 делится на 2.
В математике есть точные признаки делимости на разные числа. Для чего они нужны? Легко понять, что 12 делится на 2 или что 100 делится на 10.
Но вот два достаточно длинных числа: иПри помощи признаков делимости можно понять делятся они, каждое из них, на 3 или нет. Первое делится, а второе — нет. Здесь нужно было воспользоваться признаком делимости на 3. Сумма цифр первого числа делится на 3:
Значит, и само число делится на 3.
Сумма цифр второго числа не делится на 3:
Значит, и само число не делится на 3.
Признаки делимости на разные числа устроены по-разному. Сегодня мы рассмотрим с вами признаки делимости на 10, 5 и 2, которые устроены по одному и тому же принципу — признак делимости по последней цифре.
Признаки делимости
Начнём с самого главного вопроса: что значит «одно число делится на другое»? Например, что значит, что число 15 делится на 5? Это означает, что число 15 можно представить в виде произведения двух множителей: . В разложение входит множитель 5, значит число 15 делится на 5. По этой же причине 15 делится и на 3.
15 делится на 5, оставшийся множитель — результат деления. 15 поделить на 5 будет 3. И, наоборот, при делении на 3, оставшийся множитель 5 — это результат деления. 15 разделить на 3 будет 5.
Тот факт, чтоделится на , мы можем записать следующим образом:Второй множитель— это результат деленияна Основная теорема арифметики
Разложим число 60 на множители:
Очевидно, 60 делится на 2 и на 30 по этой причине.
Число 30 можно разложить дальше, как .
15 в свою очередь — этоИтак, 60 представимо в виде произведения множителей:
Причём ни один из множителей 2, 3, 5 дальше мы разложить не можем. Вот такие числа, которые невозможно разложить дальше ещё на меньшие числа, называются простыми. Числа 2, 3 и 5 — это простые числа. Те числа, которые можно разложить на меньшие множители, называются составными числами. Числа 60, 30, 15 являются составными.
Число 60 мы могли начать раскладывать другим способом.
Посмотрите, мы получили ровно такой же набор простых множителей, как и в первом случае. Единственное, что они идут в другом порядке. Но мы знаем, что множители можно менять местами. От этого произведение не изменится.
Всегда ли так будет? Оказывается, да. Можно доказать теорему:
Любое число можно представить в виде произведения простых множителей единственным образом.Это похоже на атомы, из которых состоит наше число, ну или буквы, которыми написано определённое слово. Свойство о том, что любое число единственным образом раскладывается на простые множители, носит отдельное название. Оно называется основной теоремой арифметики.
Мы с вами уже обсудили, что числоделится на числотогда и только тогда, когдасодержиткак множитель.можно представить как набор множителей, среди которых есть.
Давайте посмотрим на число 0. Его можно представить в виде произведения нуля и любого другого числа:То есть в разложение нуля входит любое число.
Таким образом понятно, что ноль делится на любое число. Причём результатом будет второй множитель — ноль.
Итак, ноль поделить на любое число, будет ноль.
Противоположный вопрос: что с делением на 0? Получится ли какое-то число поделить на 0?
Если бы некоторое числоможно было поделить на 0, то был бы какой-то ответ .
Но тогда, вспомнив о том, что деление — операция, обратная умножению, можно записать, что Получаем, что, но ведьбыло выбрано произвольно. Таким образом понятно, что мы пришли к противоречию. Не удаётся выбрать, а чему же будет равен результат этого деления.
Большая ли это проблема, что мы не можем поделить одно число на ноль? Вообще никакая не проблема. На самом деле, мы никогда не сталкиваемся с такой задачей. Ну например, мы же не определили такую операцию как плюс, а за ним умножить, потому что она нам была не нужна. То же самое и с делением на ноль — эта операция не нужна и поэтому без неё, вполне нормально обойдёмся.
Ноль можно делить на любое число, не равное нулю, в ответе всегда будет ноль. При этом никакое число нельзя делить на ноль. Нам не удаётся определить эту операцию.
Делимость чисел, оканчивающихся на 0
Теперь рассмотрим числа, которые оканчиваются нулём. Если число оканчивается нулём, то это означает тот факт, что в его разложение входит множитель 10.
Например,Мы знаем, что 10 мы можем представить как , тогдаВ разложении нашего числа входит 10. С другой стороны, эквивалентная формулировка — в разложение нашего числа входит 5 и 2. Таким образом, если число оканчивается нулём, то оно делится на 10, на 5 и на 2.
Делимость суммы
Рассмотрим сумму двух чисел:
Первое слагаемое делится на 4, второе слагаемое — не делится на 4. Сумма тоже не делится на 4.
В равенствеоба слагаемых делятся на 4. В итоге сумма тоже делится на 4.
Таким образом, мы получаем правило:1) если два слагаемых делятся на одно и тоже число, то их сумма тоже делится на это же число;
2) если в сумме из двух слагаемых одно делится на число, а другое — нет, то сумма не делится на это число. Общий признак делимости суммы
На самом деле признак делимости суммы ещё интереснее.
Если у нас есть несколько слагаемых и все слагаемые делятся на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
Пример:
делится на 3.
Если все слагаемые делятся и только одно слагаемое не делится на одно и то же число, то и сумма не будет делиться на это число.
Пример:
не делится на 5.
Если больше одного слагаемого, то есть два или больше, не делятся на число, то и результат может быть различным.
Пример:
В обоих примерах одно из слагаемых делится на 4, два слагаемых — не делятся на 4. Но сама сумма в первом случае делится на 4, а во втором — нет.
Если два или больше слагаемых не делятся на одно и то же число, то результат может делиться, а может не делиться на это число.
Пример
Возьмём очень длинное число, например,
Постараемся определить, на какие числа оно делится.
Представим это число в виде суммы двух слагаемых:
Первое слагаемое оканчивается на 0, а значит, оно делится на 10, на 5 и на 2.
Второе слагаемое не делится на 10, а значит, и сумма не делится на 10.
Второе слагаемое не делится на 5, а значит, и сумма не делится на 5.
Но второе слагаемое делится на 2, а значит, и сумма, то есть исходное число, делится на 2.
Теорема (признак делимости на 2, 5 и 10)
Итак, мы подошли к основному итог нашего урока.
Теорема: число делится на 2, на 5 или 10, тогда и только тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2, на 5 или на 10 соответственно.Доказательство: пусть задано числоПредставим его в виде суммы двух слагаемых:
Слагаемоеоканчивается нулем, а значит, делится на 10, на 5, на 2. Таким образом, делится ли вся сумма на 10, на 5 и на 2, зависит от второго слагаемого, то есть от последней цифры в исходном числе.
Таким образом, если последняя цифра числа делится на 10, на 5 и на 2, то и всё число делится на 10, на 5 и на 2 соответственно. Если не делится, то и всё число не будет делиться.
Теорема доказана.
Примеры
Определим, делятся ли данные числа на 10, на 5 и на 2.
1)
Так как число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10, 5 и 2.
2)
Данное число оканчивается цифрой 7. 7 не делится ни на 10, ни на 5, ни на 2, а значит, и число 12687 на них не делится.
3)
Данное число оканчивается цифрой 6. 6 делится на 2, но не делится на 5, ни на 10, значит, число 1256 делится на 2, но не делится на 5 и на 10.
4)
Это число оканчивается цифрой 5, значит, делится на 5, но не делится на 2 и 10.
5)
Число оканчивается нулем, а значит, оно делится на 10, 5 и 2.
Заключение
Обратите внимание: мы с вами рассмотрели признак делимости по последней цифре только для 10, 5 и 2. Для делимости на другие числа нельзя использовать этот признак.
Например, число 13 не делится на 3, хотя последняя цифра числа на 3 делится.
Или 17 не делится 7, хотя последняя цифра числа на 7 делится.
Полезные ссылки
Проверь себя
Укажите, какие из чисел
а) делятся на 2;
б) делятся на 5;
в) не делятся ни на 2, ни на 5;
г) делятся на 10.
Оля купила несколько коробок конфет в каждой находится 10 штук. Может ли получиться так, что Оля купила 45 конфет? 53 конфеты? 60 конфет?
Из цифрсоставьте все возможные трёхзначные числа, делящиеся на 5. Все цифры в записи чисел различны.