01. Делители и кратные
14 мин
02. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
14 мин
03. Признаки делимости на 9 и на 3
14 мин
04. Простые и составные числа
7 мин
05. Разложение числа на множители
17 мин
06. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
26 мин
07. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Часть 1. НОД (Слупко М. В.)
26 мин
08. Наименьшее общее кратное (Вольфсон Г.И.)
23 мин
09. Наименьшее общее кратное (Богданович Е.М.)
12 мин
03. Признаки делимости на 9 и на 3
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы узнаем, что такое признак делимости «по сумме цифр», узнаем, как его применять. Вспомним признак делимости «по последней цифре». Научимся использовать оба признака сразу и узнаем, когда это можно делать, а когда нельзя.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Число\nкак объект изучения (Теория чисел)».
Введение
Сегодня снова поговорим о признаках. Признак позволяет нам, глядя на какой-то объект, что-то про этот объект понять.
Есть пословица: «Нет дыма без огня». То есть дым — это признак огня. Видим дым, значит, где-то огонь. На самом деле этот признак не всегда работает. Что-то может тлеть без огня, а дым будет получаться.
В математике признаки работают всегда. И признаки делимости как раз относятся к таким.
Мы уже один признак делимости с вами изучили — это признак делимости по последней цифре, на 2, на 5 и на 10.
Если у числа последняя цифра делится на 2, на 5 и на 10, то и само число делится соответственно на 2, на 5 и на 10.
Признак делимости на 3 и на 9
На этом уроке мы с вами займёмся признаком делимости на 9 и на 3.
18 делится на 9, 81 тоже делится.
27 делится на 9, 72 тоже делится.
45 делится на 3, 54 тоже делится на 3.
Можете попробовать сами выписать разные числа, которые делятся на 3 и на 9, и переставить у них цифры. То число, которое будет получаться, тоже будет делиться на 3 или на 9.
Всё дело в том, что делимость числа на 3 или на 9 не зависит от того, в каком порядке идут цифры, а зависит только от суммы этих цифр.
Признак делимости на 3 и на 9 звучит следующим образом:
Если сумма цифр числа делится на 3 или на 9, то само число тоже делится на 3 или на 9.Понятно, что если цифры переставить местами, то сумма от этого не изменится.
Признак делимости на 3
Выясним, как получается этот признак.
Возьмём число 72. Мы знаем, что оно делится на 3
Как легко увидеть, что число оно делится на 3?
Например, так:
60 делится на 3 и 12 делится на 3, значит, и сумма делится на 3.
Здесь мы воспользовались очень полезным правилом. Давайте его повторим.
Свойства делимости
Если в сумме оба слагаемых делятся на некое число, то вся сумма делится на это число.
Если одно из двух слагаемых делится, а другое — нет, то сумма не делится на это число.
Вернёмся к числу 72.
Разложение на два слагаемых 60 и 12 было для нас удобным, но оно не давало алгоритма, а как же поступать с другими числами.
Вспомним, что означает десятичная запись числа. 72 — это 7 десятков и 2 единицы.
Первое слагаемое делится на 3, сумма 7 + 2 тоже делится на 3, значит, 72 делится на 3. Коротко это можно записать так:
Последнее слагаемое — это и была сумма цифр исходного числа. Если бы она не делилась, то и всё число не делилось бы на 3.
Давайте посмотрим число 73.
И вот такой алгоритм можно применить к любому числу.
Пример
Проверьте, делится ли числонацело на 3 и на 9.
План решения:
1) Вспоминаем, что означает десятичная запись числа, и записываем число в эквивалентной форме.
Каждое разрядное число (1000; 100; 10 и так далее) представляем как сумму двух чисел состоящего из девяток и единицы.
Раскрываем скобки:
Меняем местами слагаемые: в первую группу записываем слагаемые, представленные умножением на числа из девяток; во вторую группу — все остальные:
Получили две суммы.
2) Используем свойство делимости суммы: если оба слагаемых делятся, то сумма делится, если одно делится, другое нет, то сумма не делится.
У нас в первых скобках каждое слагаемое делится и на 3, и на 9, значит, и вся сумма делится на 3 и на 9.
Таким образом, делимость всего числа зависит от последней суммы. Если она делится на 3 или на 9, то и всё число делится, если нет, то и всё число не делится.
Но во вторых скобках и есть сумма цифр исходного числа. Посчитаем:
Это число делится на 3, но не делится на 9.
Ответ: 2382 делится на 3, но не делится на 9.
В математике есть такой удобный инструмент — теория сравнений.
Кому интересно, можно ниже посмотреть, как с помощью тории сравнений вот это свойство, признаки делимости на 3 и на 9, доказывается практически мгновенно.
Теория сравнений и признак делимости на 3 и 9Выбираем какое-нибудь число, например 3. И будем называть его модулем. Это не тот модуль, который с двумя чертами, который изучается при рассмотрении отрицательных чисел. Это просто одинаковые названия.
Два числа считаем одинаковыми (или сравнимые друг с другом), если они дают одинаковый остаток при делении на 3.
Рассмотрим примеры таких чисел.
1) 5 и 8
5 при делении на 3 даёт в остатке 2, и 8 при делении на 3 даёт в остатке 2
Соответственно, мы считаем, что эти два числа одинаковые или сравнимые между собой. 5 сравнимо с 8 по модулю 3.
2) 4 и 10
4 при делении на 3 даёт в остатке 1, и 10 при делении на 3 даёт в остатке 1
Это тоже сравнимые числа.
3) 6 и 15 — они делятся на 3, то есть дают в остатке 0.
Они тоже сравнимы по модулю 3.
Очевидно, все разрядные числа (1000, 100, 10) сравнимы с единицей по модулям 3 и 9.
Если 10, 100, 1000 делить на 3, то всегда в остатке будет 1.
Если 10, 100, 1000 делить на 9, то всегда в остатке будет 1.
Поэтому все эти числа все сравнимы с 1.
Доказательство признака делимости на 3 и на 9
Рассмотрим число шестизначное число 425382.
Сделаем эквивалентную запись:
Каждое разрядное число сравнимо с 1 по модулю 3 и 9.
Соответственно их мы и заменим на 1.
Таким образом, сумма превратилась просто в сумму цифр. Когда делится она на 3 и на 9, то делится и исходное число. И, наоборот, если сумма не делится на 3 и на 9, то не делится и само число.
Задание
Самостоятельно определите, делится ли число на 3 и на 9.
1)
2)
3)
РешениеРешение
1)
Найдём сумму цифр:
2)
Найдём сумму цифр:
3)
Не обязательно складывать все цифры вместе. Это бывает достаточно затруднительно. Можно упростить себе задачу. Если какая-то часть в сумме уже делится, то её можно откинуть и больше не учитывать.
Больше можно их не учитывать.
Больше не учитываем.
Осталось найти сумму:
Итак, сумма всех цифр делится и на 3, и на 9. Значит, и исходное число делится на 3 и на 9.
Применение нескольких признаков деления
Теперь мы с вами знаем уже два признака. Первый признак делимости по последней цифре. Он применим к числам 2, 5 и 10. И второй признак — по сумме цифр. Мы проверяем так делимость на 3 и на 9.
Посмотрим на применение сразу двух признаков одновременно.
Пример
1. Делится ли число 12 348 на 6?
Решение
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3.
12 348 делится на 2, так как последняя цифра делится на 2 ().
Проверим, делится ли число на 3.
Последние две цифры в сумме дают 12.
Сумма цифр делится на 3, значит, само число 12348 делится на 3.
Так как исходное число делится и на 2, и на 3, то оно делится на 6.
Ответ: 12 348 делится на 6.
2. Делится ли число 4525 на 15?
Решение
Значит, нам нужно проверить делимость на 3 и на 5.
Последняя цифра делится на 5, значит, и число делится на 5.
Проверяем делимость на 3.
, 9 делится на 3: .
на 3 не делится.
Значит, число 4525 не делится на 3 и не делится на 15.
Ответ: 4525 не делится на 15.
Этот метод, применение признака два раза, нельзя применять, если мы проверяем делимость на число, где есть повторяющиеся множители.Пример
3. Делится ли 102 на 4?
1) 102 делится на 2, так как
2) 102 делится на 2, так как
Но на 4 оно всё-таки не делится.
Нельзя применять признак делимости несколько раз, если делитель содержит повторяющиеся множители.
Если множители внутри числа не повторяются, то можно применять два признака по очереди. Например, или . Если множители повторяются, то такую схему, такой алгоритм применять нельзя.
Вопросы
Самостоятельно ответьте на следующие вопросы.
Если вы уже знаете про какое-то число, что оно делится на 9 или не делится на 9, нужно ли проверять делимость на 3?
Наоборот, если вы знаете, что число делится или не делится на 3, то нужно ли проверять делимость на 9?
Полезные ссылки
Проверьте себя
Из чисел 405, 2 876, 2 511, 4 570, 2 808, 9 132, 7 062, 4 182 выпишите те числа, которые делятся
а) на 3; б) на 9; в) на 6.
В записи числа 51*2434 одна цифра заменена символом *. Вместо этого символа запишите такую цифру, чтобы полученное число делилось на 3. Рассмотрите все возможные варианты.
В записи числа 59 743 661 вычеркните две цифры, чтобы полученное число делилось на 18.