02. Пропорции (Слупко М.В.)

На этом уроке мы узнаем, что такое пропорция, как и где она используется. Также мы научимся находить неизвестный член пропорции.

Когда мы рисуем какой-нибудь объект, мы стараемся сделать так, чтобы рисунок был похож на сам объект. Что значит похож? Мы можем не знать ширину или высоту дома (см. Рис. 1), но мы визуально оцениваем их соотношение.

Если высота дома в два раза больше его ширины, то на нашем рисунке это соотношение должно остаться таким же: если нарисовали дом шириной 2 клетки, то высота должна быть 4 клетки (см. Рис. 2).

Если сделаем высоту дома 10 клеток, то он будет слишком «узкий», сделаем 2 клетки — снова непохоже, дом получается квадратным. (См. Рис. 3.)

Записать это равенство можно с помощью дробей:

Или с помощью знака деления:

Эти записи эквиваленты.

Определение пропорции

Пропорция — равенство двух отношений.

или

 и   называют крайними членами пропорции,   и   — средними членами.

Конечно, мы уже записывали пропорции раньше, просто не называли их так. Для любой дроби есть бесконечное количество эквивалентных, равных ей дробей. (Достаточно числитель и знаменатель умножить на одно и то же число.)

Раньше мы говорили «две третьих равно восемь двенадцатых»:Или, «два делить на три равно восемь делить на двенадцать»:

Теперь мы можем ещё сказать «два относится к трём, как восемь относится к двенадцати». То есть два отношения равны друг другу.

Случаи возникновения пропорции

Обычно пропорции возникают в двух случаях.

Первый случай. Мы знаем отношение двух величин. Их отношение можно записать дробью. Потом эту дробь можно записать более просто, например сократить. Получим равенство двух дробей, то есть пропорцию.

Пример 1. Высота дома — 15 метров, ширина — 5 метров. (См. Рис. 4.) Каково отношение этих размеров?

Конечно, их отношение — это один размер, поделенный на другой. То есть Но эту дробь можно сократить, записать эквивалентной, более простой на вид. То есть можно сказать, что высота относится к ширине, как 15 к 5 или как 3 к 1.Можно и наоборот. Ширина относится к высоте, как 5 к 15 или как 1 к 3:

А если бы размеры были 12,5 м и 4 м?

Тогда мы бы записали отношение и упростили его, умножив числитель и знаменатель на два: 

Обычно пытаются получить несократимую дробь с целыми числителем и знаменателем.

Второй случай. Мы знаем две величины и их отношение. И ещё две, которые связаны таким же отношением. Размеры дома — 9 м и 6 м и рисунка дома — 12 см и 8 см. (См. Рис. 5.) Равенство этих двух отношенийи есть пропорция.

Пример 2. Мы пошли в поход. В первый день мы шли 8 ч. Во второй день — 5 ч. Каково отношение пройденных расстояний в первый и второй день пути, если скорость была одинакова? (См. Рис. 6.)

Во сколько раз времени мы больше затратили, во столько же раз мы больше и прошли.
То есть отношения времени и отношение пути в первый и второй день равны: 

Получаем пропорцию:

 — пройденное расстояние в первый день,  — пройденное расстояние во второй день. И это будет справедливо для любых промежутков времени: Отношение потраченного времени равно отношению пройденных расстояний.

Пример 3. Считается справедливым, что во сколько раз человек больше работал, во столько раз и вознаграждение у него должно быть больше.

Введем обозначения: — объём выполненной работы 1-м и 2-м человеком,— вознаграждение каждого (см. Рис. 6).

Тогда во сколько раз один объём отличается от другого, точно так же должны отличаться и вознаграждения. Два отношения равны, то есть получаем пропорцию: 

Математические действия с пропорцией

Мы с вами поговорили, в каких ситуациях появляются пропорции. Теперь подробнее остановимся на арифметической части, какие математические действия мы можем производить с пропорцией.

Итак, пусть есть пропорция:

Так как левая и правая часть — это дроби, то мы можем делать всё, что делали с дробями и раньше.

Приведём дроби к общему знаменателю (очевидно, что общим знаменателем является произведение 

Две дроби равны. Знаменатели у них равны. Значит, и числители их равны.

Запишем это: 

То есть если пропорция записана с помощью дробито можно перемножить её члены крест-накрест и приравнять:

Если пропорция записана с помощью знака деления, то можно перемножить крайние и средние члены и приравнять:

Это свойство иногда называют основным свойством пропорции.

Рассмотрим какую-нибудь простую пропорцию. Например, 

Легко увидеть, что это пропорция верная, так как обе дроби равны числу 3.

Перемножим крест-накрест её члены, то есть воспользуемся основным свойством пропорции: Получаем: .

Это свойство удобно при вычислениях, решении задач. Но если вы его не запомнили — ничего страшного. Всегда можно получить то же самое, просто выполняя эквивалентные преобразования дробей.

Приведём дроби к общему знаменателю:

Знаменатели равны, значит, числители тоже равны:

Задание

В качестве домашнего задания ответьте на следующие вопросы:

1) Почему в пропорции можно поменять местами два крайних члена?

То есть, еслито

Подсказка: воспользуйтесь основным свойством пропорции.

2) Какие ещё члены можно поменять местами? (Для проверки возьмите любую пропорцию с конкретными числами.)

Пропорции в задачах

Итак, мы обсудили:

• Когда появляется пропорция.

• Какие арифметические действия мы можем с ней выполнять.

Осталось обсудить последний вопрос: как пропорция помогает нам решать задачи?

У пропорции 4 члена. Если три известны, а один нет, то мы можем его найти. Причём нет большой разницы, какой именно член неизвестен:  или  , или  , или 

Пример 1. Найти неизвестный член пропорции 

1. Первый способ.

Перемножим крест-накрест:

Выразим  :

2. Второй способ,

После того как мы сократили правую дробь, поменять местами средние члены:

И сразу получаем ответ: 

Ответ: 3.

Пример 2. Найти неизвестный член пропорции: 

Перемножим крайние и средние члены:

Выражаем . Сократим числитель и знаменатель на 5, затем ещё на 5:

Ответ: 2,5.

Решим теперь пару более содержательных задач.

Задачи

Задача 1. В первый день участники похода прошли 32,5 км за 5 часов, во второй день — 39 км. (См. Рис. 7.) Сколько времени они шли во второй день, если скорость не менялась?

Решение. Введем обозначения:   — пройденные пути соответственно за первый и второй день;   — затраченное время.

Зачем вводить обозначения для тех величин, которые мы уже знаем? С такими обозначениями намного меньше шансов запутаться при записи условия, чем сразу записывать числами.

Итак, чем больше путь, тем больше затраченное время.

Запишем пропорцию:

Подставим известные величины:

Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим члены пропорции крест-накрест:

И выразим 

Ответ: 6 часов.

Мы могли бы обойтись в этой задаче без пропорции.

В первый день мы знали пройденное расстояние и потраченное время. Конечно, можно найти скорость движения. Так как скорость не менялась, то её можно использовать во второй день. Там мы знали пройденное расстояние и могли найти потраченное время. Но, так как нас никто не спрашивал, какова была скорость движения, то мы просто сэкономили себе время, мы сразу нашли время, потраченное во второй день пути.

Задача 2. Первая бригада вскопала поля и получила за это 2700 рублей. Вторая бригада вскопала остальную часть поля. Сколько нужно заплатить второй бригаде? (См. Рис. 8.)

Решение. Попробуем составить пропорцию сразу, используя известные значения, без введения дополнительных переменных. Понятно, что во сколько раз вторая бригада больше работала, во столько раз она и должна больше получить.

Запишем это в виде пропорции. Итак, если первая бригада вскопала , то вторая — оставшуюся часть поля:

Отношение вскопанного равно: 

Отношения оплат должно быть равно отношению сделанной работы:

Выражаем  :

Находим, что оплата второй бригады должна составить 3600 рублей.

Ответ: второй бригаде нужно заплатить 3600 рублей.

Заключение

Итак, кратко повторим.

Пропорция — это равенство двух отношений. Её можно записать с помощью дробей или знаков деления:

В пропорции можно перемножить члены крест-накрест или крайние и средние члены и приравнять: 

• Если любой из четырех членов пропорции неизвестен, мы его можем найти: или  или  или.

• При решении задач нужно найти пары величин, отношения которых равны, приравнять, подставить все известные значения и выразить из полученной пропорции неизвестную величину.

  ---

  Полезные ссылки

  1. Список рекомендованных учебников.

  2. Интернет-портал «math-prosto.ru».

  3. Интернет-портал «spacemath.xyz».

  4. Интернет-портал «mathematics-repetition.com».

   

   

  Проверьте себя

  1. Найдите неизвестный член пропорции:  .

  2. Верна ли данная пропорция:  ?

  3. За 4 килограмма картошки заплатили 64 рубля. Сколько стоят 23 килограмма картошки?

   

   

  Список использованных источников:

  Рис. 1–9. Иллюстратор Ракитина К. В.