06. Решение уравнений (Слупко М.В.)

На этом уроке мы вспомним, что такое уравнение, а также рассмотрим методы решения уравнений. Все навыки и знания закрепим с помощью решения примеров.

Мы уже знаем, что уравнение — это такое равенство, где есть неизвестные, или их ещё называют переменные. Пока мы будем говорить только об уравнениях с одной переменной.

Рассмотрим уравнение: 

Подставим в это уравнение вместо  единицу:

— получилось неверное равенство.

Можно записать так:

Аналогично, если подставим число 2, снова получим неверное равенство:

А вот если подставим число 3, то получится верное равенство:

Такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, называют корнями уравнения.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

То есть число 3 является корнем нашего уравнения.

А есть ли у этого уравнения ещё корни? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо научиться решать уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Например, у уравнения нет корней, так как левая часть всегда равна нулю.

Как же найти корень уравнения или корни уравнения? Можно пробовать наугад подставлять разные числа и проверять, верное или неверное равенство получилось. Но этот метод больше напоминает поиск иголки в стоге сена, так как чисел бесконечно много и все перебрать не получится. Поэтому нужно научиться видоизменять информацию, содержащуюся в уравнении, таким образом, чтобы можно было найти корни.

Начнём с уравнений, которые не вызывают у нас проблем при решении. С одной стороны, уравнения находится переменная, с другой стороны — число.

Пример

Найдите корень уравнения:

1)

Корнем этого уравнения является число 5.

Ответ: 5.

2)

Корнем этого уравнения является число 2

Ответ: 2.

В самом деле если подставлять вместо   другие числа, то верного равенства не получится.

Эквивалентные уравнения

Посмотрим на следующее уравнение: 

Уравнение — это информация о неизвестной переменной. Мы ещё не знаем, чему равно  , но знаем, что если   умножить на 5 и вычесть 1, то получится 19. Но одну и ту же информацию можно сообщать разными, эквивалентными способами. Если после вычитания единицы будет 19, значит, до вычитания единицы было 20. Значит, эту же информацию можно записать и так: 

Мы ещё не нашли корень этого уравнения, но знаем, что он такой же, как и у исходного уравнения. Такие уравнения, которые имеют одинаковые корни, называются эквивалентными.

Уравнение эквивалентно первому, но выглядит проще. Если   умножить на 5, то получится 20. Но тогда если мы вспомним, что такое деление, то по определению получаем: 

Это опять та же самая информация, но уже в явном виде. Корень этого уравнения 4.

Все уравнения были эквивалентны. Значит, 4 является корнем и первого уравнения.

В самом деле подставим 4 в первое уравнение вместо переменной. Получим верное равенство:

Ответ: 4.

Вот мы и получили идею метода решения уравнения. Нужно исходное уравнение переписывать в эквивалентном виде так, чтобы в конечном итоге получилось простейшее уравнение: с одной стороны — переменная, с другой стороны — число.

И остался последний вопрос. Что можно делать с уравнением, как его можно преобразовывать, чтобы новое уравнение получалось эквивалентно предыдущему?

Если в двух вазах одинаковое количество яблок (пусть даже неизвестно, сколько точно), то если добавить в каждую по 3 яблока, то количества в обеих снова будут одинаковы (рис. 1).

Такая же ситуация и с уравнением. Уравнение — это равенство двух количеств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число или переменную, то полученное уравнение будет эквивалентно исходному.

Например,

Для краткости договоримся говорить, что уравнение не изменится (хотя внешне оно уже будет выглядеть иначе).

Эквивалентные преобразования. Перенос слагаемых

Решим уравнение.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Добавить к обеим частям уравнения можно любое число. Но нужно выбрать такое, чтобы уравнение упростилось.

Смотрим на ту часть, где находится переменная. Если там не будет слагаемого  , то станет проще. Если к числу прибавить противоположное, то в результате будет ноль. Для числа   противоположным является 15. Добавим число 15 к обеим частям уравнения.

В левой части мы получили сумму противоположных чисел. Она равна нулю.

Получили простейшее уравнение. Его корень равен 56.

Ответ: 56.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Посмотрим на это уравнение. Переменная входит в обе его части. Мы же хотим, чтобы переменная была только в одной части. Добавим к обеим частям :

В правой части мы получаем сумму противоположных слагаемых. Она равна нулю.

Таким образом получаем простейшее уравнение. Корень этого уравнения 5.

Ответ: 5.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Добавим к обеим частям уравнения  . В левой части получили сумму противоположных слагаемых. Она равна нулю. 

Ответ: 79.

В левой части 21 исчезло, а в правой появилось противоположное число  . Похоже, что число 21 мы перенесли из левой части в правую часть, поменяв у него знак.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Решим это уравнение. Для этого перенесём 17 в правую часть, а   — в левую часть. У обоих слагаемых при этом меняем знак на противоположный.

Ответ:  .

Эквивалентные преобразования. Домножение и деление

И снова давайте обратимся к нашему опыту. Пусть в двух вазах одинаковое количество яблок. Увеличим количество яблок в каждой вазе в два раза. Будет ли и теперь количество одинаковым? Конечно, будет. А если бы мы уменьшили количество яблок в каждой вазе в три раза? Опять количества остались бы равными (рис. 2).

Такая же ситуация и с уравнениями.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Поделим обе части уравнения на 3:

Простейшее уравнение. Корень этого уравнения 6.

Ответ: 6.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Умножим обе части уравнения на 7:

В левой части 7 в числителе и в знаменателе сократятся, останется только . В правой части — 35.

Корень этого уравнения 35.

Ответ: 35.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Разделим обе части уравнения на 4:

После того как мы обе части поделили на 4, то в левой части коэффициент 4 исчез, но в правой, в знаменателе появился. Поделим 36 на 4.

Ответ: 9.

Решим ещё несколько уравнений.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Перенесём 4 в правую часть. При этом меняем знак на противоположный.

Обе части уравнения поделим на 3, чтобы в левой части остался просто .

Ответ: 2.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Перенесём слагаемое  в правую часть, при этом меняем его знак на противоположный.

Обе части уравнения домножим на 3, чтобы в левой части уравнения получить .

Ответ: 21.

Давайте проверим. Подставим 21 вместо  в исходное уравнение.

Верное числовое равенство.

Пример

Найдите корень уравнения:

Решение

Нам удобно, чтобы все числа оказались в одной части, а переменные — в другой части. Всё равно куда переносить числа, а куда переменные. Давайте в левую часть перенесём числа, а в правую — переменные.  переносим влево — меняем знак на противоположный;  переносим вправо, тоже меняем знак на противоположный.

Перепишем в более привычном для нас виде.

Делим обе части на 5. Получаем:

Ответ: 8.

Заключение

Давайте подведём итог наших рассуждений.

Мы видим, что наша цель — привести исходное уравнение к виду «неизвестная равна числу», в этом случае мы нашли корень исходного уравнения.

Пример:

А для этого мы сначала собираем все слагаемые с неизвестной в одной части уравнения, а остальные — в другой:

Пример:

Для решения уравнений мы используем следующие эквивалентные преобразования.

• Добавление или вычитание к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или, по-другому, перенос слагаемого в другую часть уравнения с изменением его знака):

Пример

• Домножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое выражение:

Примеры

Итак, метод решения уравнений не сложен. Но здесь важна тренировка. Поэтому обязательно выполните все задания в тренажёрах.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «mathematics-repetition.com».

Проверьте себя

1. Решите уравнения:

1) 

2) 

3) 

2. Решите уравнения:

1) 

2) 

3) 

3. Решите уравнения:

1) 

2)

3)

Список использованных источников:

Рис. 1–3. Иллюстратор Ракитина К. В.