03. Решение уравнений (Вольфсон Г.И.)

Первое свойство уравнений. Иллюстрирующий пример. Формулировка

Рассмотрим решение уравнения:

Уравнение можно получить из уравнения , разделив обе части уравнения на .

Число – это корень уравнения и корень уравнения .

Сформулируем первое свойство уравнения.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, и корни уравнения не изменятся.

Применение первого свойства уравнений. Упражнения

Пример 1.

Умножим обе части уравнения на . Тогда коэффициент перед станет целым.

Ответ:

Пример 2.

Умножим обе части уравнения на . Тогда коэффициенты перед  станут целыми.

Ответ:

Пример 3.

Разделим обе части уравнения на .

Ответ:

Пример 4.

Разделим обе части уравнения на .

Ответ:

Второе свойство уравнений. Иллюстрирующие примеры. Формулировки

Рассмотрим решение уравнения:

Число – это корень уравнения и корень уравнения .

Заметим, что уравнение можно было получить, перенеся число из левой части в правую с противоположным знаком:

Сформулируем второе свойство уравнения:

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Рассмотрим решение еще одного уравнения: .

Вычтем из левой и правой части уравнения . Тогда останется только в левой части.

Число – это корень уравнения и корень уравнения .

Второе свойство уравнений можно сформулировать иначе.

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то корни уравнения не изменятся. Если из левой и правой части уравнения вычесть одно и то же число, то корни уравнения не изменятся.

Применение второго свойства уравнений. Упражнения

Пример 1.

Воспользуемся вторым свойством уравнений. Принято слагаемые, которые содержат неизвестное, собирать в левой части уравнения, а остальные в правой.

Пример 2.

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

Примеры решения более сложных уравнений

Пример 1.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

Пример 2.

Воспользуемся основным свойством пропорции. Произведение средних равно произведению крайних.

Раскроем скобки в левой и в правой части уравнения.

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

Линейные уравнения. Определение

Во всех рассмотренных примерах мы приводили уравнение к виду

, где

Уравнения такого вида называют линейными уравнениями с одним неизвестным. Уравнения, которые можно с помощью преобразований привести к такому виду, называют сводящимися к линейным.

Упражнение

При каких значениях переменной значение выражения  равно значению выражения ?

Составим уравнение и решим уравнение.

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

Ответ: при

Текстовая задача

Условие. Рост мальчика – см и еще половина его роста. Найдите рост мальчика.

Решение.

1. Пусть  (см) – половина роста.

Тогда весь рост равен (см),

с другой стороны, весь рост –  (см).

Составим уравнение:

см – половина роста

1. см – весь рост мальчика

Ответ: см.

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematika-na.ru»‎ (Источник).

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012: № 1333, № 1342 (а, г, ж, л), № 1343.

2. Другие задания: № 1345, № 1347.