Сложение отрицательных чисел

Мы продолжаем изучать сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы разберём сложение отрицательных чисел. На примере ряда задач проиллюстрируем смысл сложения отрицательных чисел, разберём алгоритм и выполним упражнения по данной теме.

Рассмотрим такой пример. На стоянку приехали 2 машины, а затем ещё 3 машины. Сколько свободных мест на стоянке, если всего мест 20?

Изменится ли ответ, если на стоянку сначала приедут 3 машины, а затем 2? Или если приедут 4 машины, а затем ещё одна? Нет, потому что мы знаем, что

Таким образом, с помощью сложения можно уменьшить количество запоминаемой информации.

Вопрос. Ведь отрицательных количеств нет. Зачем нужно складывать отрицательные числа?

Пример. В кошельке 100 рублей. Потратили 5, 7, 13 рублей (рис. 3). Сколько осталось?

Решение

Способ 1. Мы можем вычитать последовательно:

Осталось 75 рублей.

Способ 2. Но ведь можно рассуждать и по - другому. Количество денег в кошельке уменьшилось на 5, на 7 и на 13, значит, оно уменьшилось всего на 25 рублей:

Сразу от исходных 100 рублей отнимаем 25:

100 - 5 - 7 - 13 = 100 - 25 =7 5

Ответ: осталось 75 рублей.

По сути, во втором способе мы складывали отрицательные числа. Как мы это сделали? Мы сложили их модули (сами количества) и поставили впереди знак минус, который означает, что это количество нужно будет отнять от исходного.

Сумма двух отрицательных чисел

Сумму двух отрицательных чисел можно записать разными способами. Чаще пишут без скобок, потому что это короче. Например,

Хотя теперь в записи нет знака плюс, это выражение эквивалентно исходному и является суммой двух отрицательных чисел. Складываем модули и ставим впереди знак минус:

Нам осталось сформулировать общее правило.

Правило сложения отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и в ответе поставить впереди знак минус.

Результатом будет также отрицательное число.

Примеры

Давайте теперь переходить к тренировкам. Выполните задание самостоятельно, затем ниже проверьте.

Вычислите значение выражений:

Уравнение

К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число. Нам было бы удобно, чтобы в левой части уравнения остался только x без 2  (тогда в правой части получится значение переменной, то есть уравнение будет решено). Чтобы 2 пропало (превратилось в ноль), к нему нужно добавить противоположное число, то есть -2. Так и сделаем, добавим к обеим частям уравнения -2:

 2 и -2 дают в сумме ноль. Справа получили сумму двух отрицательных чисел. Делать это мы уже умеем.

Повторение

Итак, давайте повторим.

Складывать два отрицательных числа так же просто, как два положительных. Складываем числа, не обращая внимания на знак, потом ставим знак минус перед суммой: 

.

Прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию положительного. Поэтому сумму двух отрицательных чисел можно записать эквивалентными способами:

.

Сложение отрицательных чисел с помощью числовой прямой

Давайте проиллюстрируем сложение отрицательных чисел с помощью координатной прямой.

Мы уже знаем, чему равна сумма:.

Давайте посмотрим, как это выглядит на числовой прямой. Первое слагаемое -4. От нуля сдвигаемся влево на 4 единицы. Попадаем в точку -4. Вычитание числа 3 (или прибавление числа -3) означает дальнейший сдвиг влево ещё на 3 единицы. Попадаем в точку -7 (рис. 4).

Поменяем слагаемые местами. От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Ответ снова . На прямой это будет означать, что нам всё равно, отступить от нуля влево сначала на 4 единицы, а потом на 3, или, наоборот, сначала на 3, а потом на 4. В любом случае получится точка, находящаяся слева от нуля на расстоянии 7, то есть с координатой -7 (рис. 5).

Итак, на этом уроке мы научились складывать два или больше отрицательных числа. На следующем уроке мы займёмся сложением уже всех известных нам чисел — и положительных, и отрицательных.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «math-prosto.ru».

Проверь себя

1) Вычислите:

2) Вычислите: 

3) Решите уравнение: