04. Сокращение дробей

Основное свойство дроби

Представьте себе такую ситуацию.

За столом 3 человека и 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достаётся по яблока.

А за соседним столом ещё 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по .

При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по .

Но это одно и то же.. Эти дроби — эквивалентны.

Если количество яблок увеличить в два раза и количество людей увеличить в два раза, то каждому достанется столько же, сколько и раньше.

В математике этот принцип формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или поделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной.

Этот принцип часто называют «основное свойство дроби».

Примеры эквивалентных дробей

Путь от города до деревни составляет 7 километров.

Мы идём по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам.

Пройдя три столбика, три километра, мы понимаем, что прошли пути.

Но столбиков по дороге может не оказаться, скажем, их не установили. В этой ситуации мы можем считать наш путь по электрическим столбам вдоль дороги.

Их 20 штук на каждый километр. То есть всего 140 на всём пути. Три километра —

 столбов. Мы прошли 60 из 140 столбов. А это всего пути. Но расстояние это то же самое, то есть дроби и — эквивалентные, они равны друг другу: .

На координатной плоскости дробь можно отметить точкой. Чтобы изобразить дробь , отметим точку с координатой 3 по оси Y и 4 по оси X. Проведём прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби.

Они являются эквивалентными:

На рисунке изображены два дома. Первый высотой 6 метров и шириной 4, а второй — высотой 12 метров и шириной 8. Размеры разные, но дома по форме похожи. У них одинаковые пропорции. Одинаковое отношение высоты к ширине.

Сокращение дроби

Дробь можно было получить из умножением числителя и знаменателя на 4:

 или из умножением числителя и знаменателя на 2: .

Но точно так же можно и вернуться назад.

У дроби  можно числитель и знаменатель поделить на 2, получим: .

Или числитель и знаменатель поделить на 4, получим: .

Вот такой переход от одной эквивалентной дроби к другой с помощью деления числителя и знаменателя на одно и то же число называется сокращением дроби.

У дроби  можно поделить числитель и знаменатель на 100. Получим.

Это эквивалентная запись, но она короче. Мы сократили запись. Сократили дробь.

Сократимые и несократимые дроби

Посмотрим ещё раз на цепочку эквивалентных дробей.

Дробь  можно сократить на 2 и получить или сократить на 4 и получить.

Дробь нам не получится сократить до  или, зато легко сократить на 5 и получить.

Только одну дробь из представленных мы не можем сократить:.

Такая дробь называется несократимой. Её нельзя сократить.

Остальные — сократимыми. Их можно сократить.

Пример 1

Рассмотрим дробь.

Чтобы понять, можно ли её сократить, нужно узнать, существует ли число, на которое делится и числитель, и знаменатель — есть ли общий делитель.

42 делится на 2, но 273 на 2 не делится.

42 делится на 3 (сумма цифр 6 делится на 3), и 273 делится на три (сумма цифр 12).

Значит, мы можем поделить числитель и знаменатель на 3, сократить дробь на 3.

Можно ли сократить полученную дробь дальше?

14 делится на 2 и на 7.

91 не делится на 2, но на 7 делится.

Значит, дробь можно сократить на 7.

Для чисел 2 и 13 нам уже не найти общего делителя.

Дробь — несократима.

Не всегда легко, глядя на дробь, понять, можно её сократить или нет.

Что нам может помочь в этом?

Чтобы сократить дробь, нужно найти общий делитель для числителя и знаменателя.

Но делители числа и его множители — это одно и то же.

2 и 5 — это множители. Но на них можно разделить. Поэтому они же и делители.

То есть разложение на множители — это и разложение на делители.

Вернёмся к нашему примеру.

Если бы числитель и знаменатель были разложены на множители, мы бы сразу поняли, как сократить дробь.

Общие множители (делители) — 3 и 7. На них и сокращаем.

Пример 2

Сократить дробь, разложив на множители числитель и знаменатель.

Разложим 60 на множители:

Разложим 126 на множители:

Сократим на общие множители. На 2 и на 3. Больше общих множителей (делителей) нет. Перемножим оставшиеся множители.

Задача 1

В школе 4 первых класса, и в каждом учится 27 учеников.

Есть 12 коробок мандаринов, в каждой по 45 штук. Сколько каждому первокласснику достанется мандаринов, если их поделить поровну?

Решение:

Понятно, что надо количество мандаринов поделить на количество первоклассников.

Найдём и то и другое.

 первоклассников

 мандаринов

Осталось поделить. мандаринов

Ответ: каждому первокласснику достанется 5 мандаринов.

Но можно было и упростить себе задачу. Ведь у нас уже было разложение на множители:

Не будем сразу считать, сколько мандаринов и сколько учеников. Сначала сократим нашу дробь. 12 и 4 делятся на 4. 3 и 27 делятся на 3.

Это решение оказалось проще.

Задача 2

Сократите следующие дроби:

Задача 3

Докажите, что дробь несократима: .

Решение:

Разложим на простые множители числитель и знаменатель:

В числителе и знаменателе мы получили разложения на простые множители. Общих множителей (общих делителей) нет. Значит, сократить невозможно. Дробь является несократимой.

Такие числа 220 и 273, не имеющие общих делителей, кроме 1, называются взаимно простыми.

То есть можно сказать про несократимую дробь следующее:

Несократимая дробь — дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Заключение

Подведём итог:

1. Сократить дробь означает разделить её числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число. В результате получаем равную (эквивалентную) дробь, но с меньшими числителем и знаменателем.

2. Чтобы сократить дробь, нужно последовательно проверять, на что делятся числитель и знаменатель. Если находится общий делитель, то на него можно сократить.

3. Если разложить числитель и знаменатель на множители, то это упростит сокращение.

Давайте ответим на такой вопрос: если у нас есть дробь, эта дробь сократима, всегда ли нужно сокращать, всегда ли это становится удобным?

Рассмотрим пример. Фраза «Цена выросла на 20 %» буквально означает «Цена выросла на», так как.

Дробь можно сократить. Получится:

Теперь мы можем сказать: «Цена выросла на».

Это, конечно, то же самое. Но общая договорённость — говорить в процентах. Поэтому удобнее оставить эту величину в процентах, не сокращать дробь.

Сокращение — это математический инструмент, который мы используем для того, чтобы нам стало удобнее. Но если мы не уверены, что сокращение повышает удобство, то не нужно это делать.

Список рекомендованной литературы

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 6. — Москва: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. В., Якир М. С. Математика 6 класс. — Гимназия, 2006.

3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики. — Москва: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А. Н., Чайковский И. В. Задания по курсу математика 5–6 класс. — Москва: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А. Н., Сочилов С. В., Чайковский К. Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — Москва: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л. Н., Гейн А. Г., Коряков И. О., Волков М. В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. — Москва: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник)

Рекомендованное домашнее задание

Задание 1. Запишите три дроби, равные дроби.

Задание 2. Сократите заданные дроби. Если дробь десятичная, то сначала представьте её в виде обыкновенной дроби:;.

Задание 3. Сократите дробь, разложив числитель и знаменатель на простые множители.

Задание 4. Среди чисел найдите равные.

Задание 5. Какое натуральное число можно записать вместо буквы, чтобы равенство стало верным: