04. Свойства действий с рациональными числами

На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.

Основные свойства действий с числами

Основные свойства действий с числами:

В левом столбце — свойства сложения, в правом — умножения. Посередине — свойство, относящееся к обеим операциям.

Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше. Например, иррациональных.

Итак, давайте посмотрим по подробнее.

Первая строка:

От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.

Часто эти свойства называют перестановочными.

Вторая строка:

Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.

Часто это свойство называют сочетательным.

Третья строка:

Это свойство связывает обе операции — сложение и умножение. Его часто называют распределительным свойством. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону — правилом вынесения общего множителя за скобки.

Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.

Ещё два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения: сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.

Следующее свойство: Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.

Последнее свойство, которое мы рассмотрим: 

Умножив число на  , получаем противоположное число.

У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя другие. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.

Кому интересно, можно ниже посмотреть, как доказывается это свойство.

Почему здесь нет свойств деления или вычитания? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания:

Но вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:

А деление можно записать в виде умножения на обратное число:

Таким образом, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список правил получается короче.

Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и иррациональные числа. Например, сумма  и противоположного ему числа  равна нулю

Решение примеров

Теперь мы с вами перейдём к практической части. Но всё-таки основная тренировка — это тренажёры. Обязательно их выполните.

Начнём со сложения.

Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и выполнять действия в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними.

Например,ииПоменяем слагаемые так, чтобы эти числа стояли рядом и выполним действия сначала с ними:

Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются. Ставим их рядом. Противоположные числа в сумме дают ноль. Тоже поставим их рядом. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются одно из другого. Итак:

Мы здесь видим две десятичные дроби одинакового знака и с, дополняющими друг друга, десятичными «хвостами». Поставим их рядом. Остаются ещё два смешанных числа.

Действия с десятичными дробями выполняются легко. У первого смешанного числа домножим числитель и знаменатель на 2 — приведём к общему знаменателю эти дроби. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности.

Теперь перейдем к умножению.

Есть пары чисел, которые легко перемножить. Например, 4 и 0,25. Давайте поставим их рядом. Считаем количество минусов и сразу делаем вывод о знаке ответа: два минуса дадут плюс. Итак:

Если один из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю. Выполнять остальное умножение здесь не нужно.

Произведение обратных чисел равно единице. Обратные числа и. Поставим их рядом. Учтём знак: у нас три минуса, значит в ответе будет минус.

Примеры на использование распределительного свойства.

Если в этом примере раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко. Учитываем знаки.

Распределительное свойство можно использовать и в другую сторону, как вынесение общего множителя за скобку. Давайте посмотрим, у нас здесь есть общий множитель 0,23, или даже . Вынесем его за скобку.

Иными словами, не бывает такой ситуации, чтобы перемножили два или несколько чисел, не равных нулю, и в ответе получили ноль. Это свойство позволяет легко решить некоторый вид уравнений.

Заключение

Все мы знаем, что невозможно научиться готовить вкусный обед, только глядя, как это делает мама. Поэтому вы тоже не ограничивайтесь просмотром видеоуроков, а, пожалуйста, выполняйте все задания в тренажёрах и те задания, которые вам дают в школе.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

Проверьте себя

1. Выбрав удобный порядок вычисления, найдите значение выражения:

1)

2)

3)

4)

2. Найдите значение выражения:

1)

2)

3)

4)

Список использованных источников:

Рис. 1–3. Иллюстратор Ракитина К. В.