01. Умножение обыкновенных дробей

Правило умножения обыкновенных дробей

Вывод правила умножения обыкновенных дробей

Существует формула, которая позволяет перемножить две обыкновенные дроби. На этом уроке мы попробуем вывести правило, по которому будем умножать обыкновенные дроби.

Для этого рассмотрим такую задачу: найти площадь прямоугольника, одна из сторон которого –дм, а другая –дм.

Вспомним, что площадь прямоугольника – это произведение его сторон. Чтобы найти площадь, нужно умножитьна, но именно этого мы пока не умеем. Давайте решим эту задачу другим способом.

Нарисуем прямоугольник размером 1 дм на 1 дм, который является квадратом, так как его длина равна ширине. Далее разделим одну из его сторон на 5 равных частей, а другую сторону – на 3 равные части. Мы получили 15 равных прямоугольников.

Вспомним, что по условию задачи нам нужно найти площадь прямоугольника, одна из сторон которого – дм, а другая –дм. То есть найти площадь закрашенного зелёным цветом прямоугольника.

Как её найти? Площадь всего прямоугольника – 1 дм², он разделён на 15 равных прямоугольников, а закрашено 8. Тогда площадь закрашенной части –.

Мы нашли площадь, не перемножая обыкновенные дроби, но мы знаем, что эту же площадь можно представить как произведение двух обыкновенных дробей: .

Теперь из этого примера попытаемся вывести правило умножения обыкновенных дробей.

Вспомним, что мы делали:

• Разбили квадрат на 15 равных частей. Знаменатель одной дроби равен 5, другой – 3. Стороны квадрата разбили на соответственно равные части, и . То есть 15 – это произведение знаменателей исходных дробей.

• Как появилась 8? Мы брали, то есть 2 части из 3 (как одна сторона), и,то есть 4 части из 5. И

  .

Таким образом, чтобы перемножить две дроби, необходимо перемножить их числители и записать результат в числитель, затем перемножить знаменатели и записать полученный результат в знаменатель.

Решение примеров

Пример 1.

Пример 2.

Обратите внимание, что 3 и 6 можно сократить, и лучше выполнять сокращение сразу при умножении, а не при записи ответа.

Таким образом, 

Сокращать дроби можно только в том случае, если в числителе и в знаменателе записано произведение.

Пример 3.

Если не сократить дроби на данном этапе, то необходимо будет сокращать дробь. Поэтому облегчим задачу и сократим дробь при умножении.

Рассмотрим пример умножения дроби на смешанное число.

Пример 4.

Можно сформулировать правило: если в произведении множитель является смешанным числом, его необходимо перевести в неправильную дробь, а затем выполнить умножение.

Теперь рассмотрим пример, когда оба сомножителя являются смешанными числами.

Пример 5.

Как умножить дробь на целое число? Вспомним, что целое число можно представить в виде неправильной дроби: 3 можно представить как, число 2 как и так далее. Давайте рассмотрим пример.

Пример 6.

Пример 7.

Решение задачи. Умножение нескольких обыкновенных дробей

Решение задачи

Решим следующую задачу: предположим, велосипедист едет со скоростью км/ч в течениечаса. Какой путь проехал велосипедист?

Запишем условие задачи.

Дано:

Найти:

S – ?

Решение:

Ответ:.

Важно, что при решении задачи мы сократили дроби прежде, чем их перемножили.

Давайте посмотрим на пример, который иллюстрирует, что было бы, если бы мы перемножали дроби без сокращения.

Пример 8.

Получившуюся дробь можно сократить только на 13. Догадаться, что у 156 и 91 есть общий делитель 13, не так-то просто. Конечно, некоторые это сделать могут, но проще было сократить дробь при умножении и получить ответ или.

Пример умножения нескольких обыкновенных дробей

Теперь рассмотрим примеры, когда перемножаются не две дроби, а больше.

Пример 9.

Например, такие вычисления могут возникнуть при нахождении объёма параллелепипеда со сторонами

 м. Умножение в данном случае выполняется точно так же, как в случае с двумя дробями. Умножаем числители – записываем в числитель, умножаем знаменатели – записываем в знаменатель.

Пример 10.

Дробь несократима, так как иначе мы бы сократили её на этапе умножения.

Заключение

Итак, сегодня мы с вами узнали, как умножать обыкновенные дроби, выяснили, что с помощью этого способа можно перемножать смешанные и целые числа, проверили, что этот способ работает для трёх и более дробей.

Список рекомендованной литературы

1. Математика 6. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. М., Мнемозина, 2012.

2. Математика 6 класс. Мерзляк А. Г., Полонский В. В., Якир М. С. Гимназия, 2006.

3. За страницами учебника математики. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. Просвещение, 1989.

4. Задания по курсу математика 5-6 класс Рурукин А. Н., Чайковский И. В. ЗШ МИФИ, 2011.

5. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. Рурукин А. Н., Сочилов С. В., Чайковский К. Г. ЗШ МИФИ, 2011.

6. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Шеврин Л. Н., Гейн А. Г., Коряков И. О., Волков М. В. Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «matematika-na.ru»‎ (Источник)

Домашнее задание

1. Математика 6. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. М., Мнемозина, 2012 (ссылка см. 1.2).

2. Домашнее задание: № 472 (а, б, ж, з, к, м), № 474, № 476.

3. Другие задания: № 478 (а, в), № 433.