04. Вычитание

На этом уроке мы поговорим о вычитании, чем оно похоже на сложение и чем от него отличается, а также разберём несколько примеров.

Введение

Мы знаем, что с помощью знака равно разными способами записываются эквивалентные выражения разными способами.

Например, и — это эквивалентные выражения: . Действительно, если на складе лежало  мячей и  мячей оттуда забрали, то на складе ничего не осталось (рис. 1).

С другой стороны, . Действительно, мы определяли противоположное число  так, чтобы . Как видим, эквивалентно :

.

Но тогда для вычитания мы можем пользоваться уже известными нам правилами сложения чисел с одинаковыми или разными знаками.

Рассмотрим примеры.

1) Мы легко можем найти разность чисел и :

Но эту же разность, , ещё можно считать суммой двух чисел  и : . Так как знаки разные, надо от большего модуля отнять меньший и поставить знак числа с большим модулем, в данном случае — плюс.

2) 

Эту разность можно считать суммой двух отрицательных чисел: . Так как знаки одинаковые, то складываем модули и ставим знак минус:

3) 

Это сумма положительного числа  и отрицательного : . От большего модуля отнимаем меньший и ставим знак числа с большим модулем, то есть минус:

.

Получается, нам не нужны новые правила, чтобы вычитать из одного числа другое. Достаточно знать правила сложения чисел с разными знаками.

Примеры

Решите самостоятельно примеры

1) 

2)

3)

4)

Расстояние между точками на координатной прямой

Рассмотрим такой пример. Найдите расстояние между точками, соответствующими числам  и  на координатной прямой. Несложно увидеть, что оно равно (рис. 2).

Из большего числа отнимаем меньшее и получаем ответ :

Ответ:

То есть чтобы найти расстояние между двумя точками на координатной прямой, совсем не обязательно строить саму координатную прямую. Нужно просто из большего числа вычесть меньшее.

Единственное, мы пока это рассмотрели только на примере двух положительных чисел. Убедимся, что это правило верно и для отрицательных чисел, и для чисел с разными знаками.

Пример 2

Найдём расстояние между точками, координаты которых — числа с разными знаками, например, между  и .

Расстояние от числа  до числа  равно сумме расстояний от этих чисел до нуля. Находится оно так: .

Ответ: .

Но получается, для вычисления расстояния мы используем третье число — , которого не было в условии. Это не очень удобно. Давайте попробуем обойтись только теми числами, которые есть в условии задачи. Пользуясь тем, что прибавление числа эквивалентно вычитанию противоположного (или, коротко, два минуса подряд дают плюс), мы можем переписать нашу сумму: .

Здесь уже участвуют только те два числа, что были в условии. Но это снова разность двух чисел: из большего мы вычитаем меньшее. То есть чтобы найти расстояние между двумя числами с разными знаками, нужно из большего (положительного) вычесть меньшее (отрицательное).

Нам осталось рассмотреть последний случай: расстояние между точками, координаты которых — отрицательные числа.

Пример 3

Найдём расстояние между точками и на координатной прямой. Расстояние от нуля до  равно , до  равно . Чтобы найти расстояние между точками, нужно из  вычесть : .

Ответ: .

Мы снова использовали числа, которых не было в условии.

Сделаем эквивалентную замену: .

У нас получилась разность двух исходных чисел. Причём первое число больше второго . То есть чтобы найти расстояние между отрицательными числами, нужно из большего вычесть меньшее.

То есть во всех трёх случаях получилось одно и то же правило. Давайте его ещё раз повторим.

Если мы не знаем, какое число больше, а какое меньше ( или ), то мы не можем записать просто  или , ведь так мы можем получить отрицательное значение расстояния.

Чем отличаются эти два выражения? Только знаком: .

Например,  и отличаются только знаком.

Действительно: . То есть эти разности — противоположные числа, а значит, их модули равны. Таким образом, мы можем сказать коротко: расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат: . Или короче: расстояние между двумя числами равно модулю разности этих двух чисел.

Давайте потренируемся.

Самостоятельное задание.

Найдите расстояние между двумя числами, не строя числовую прямую.

1)  и

2)  и

3)  и

Нахождение расстояния между двумя точками заставляет задуматься ещё об одном факте. Если из большего числа вычесть меньшее, то всегда получаем положительное число, и не важно, какие исходные числа у нас были: положительные, отрицательные или разных знаков.

Заключение

Итак, на последних нескольких уроках мы ввели понятие отрицательных чисел, научились складывать и вычитать эти числа, обсудили, что такое знак и модуль числа. Нам осталось разобраться с умножением и делением чисел разных знаков. И после этого отрицательные числа станут полноценным удобным инструментом для различных расчетов. Забегая вперед, скажем: умножение и деление чисел с разными знаками — тема ещё проще, чем сложение и вычитание таких чисел.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «math-prosto.ru».

Проверьте себя

1. Найдите длины отрезков , используя данные рис. 1.

2. Выполните вычитание:

а)

б)

в)

г)

3. Выполните вычитание:

а)

б)

в)

г)