04. Взаимно обратные числа

Какие числа называют взаимно обратными? Как найти число, обратное данному, и как проверить, являются ли два числа взаимно обратными? Данный урок посвящён развёрнутому ответу на эти вопросы. Новое понятие иллюстрируется примерами.

Взаимно обратные числа

Мы знаем, что прибавление (или вычитание) нуля ничего не меняет. Говорят, что ноль — нейтральный элемент для сложения.

Противоположные числа — это два числа, которые в сумме дают ноль.

Ещё говорят, они являются симметричными числами (элементами) по сложению.

Поговорим немного про умножение. С умножением всё очень похоже: там есть нейтральный элемент. Если любое число умножить на единицу, то число не изменится.

Единица — нейтральный элемент для умножения. Умножение (или деление) на ничего не меняет.

Симметричные элементы по умножению — два числа, которые в произведении дают нейтральный элемент (единицу).

Например,

Для таких пар чисел, произведение которых равно единице, придумали специальный термин — взаимно обратные числа.

Взаимно обратные числа — два числа, которые в произведении дают нейтральный элемент (единицу).

Число  является обратным для числа .

Число является обратным для числа .

Сама пара чисел  и называются взаимно обратными числами.

Если , то  и  взаимно обратны.

Для чего нужны взаимно обратные числа?

Здесь можно провести аналогию со сложением и с противоположными числами.

Сравним со сложением.

«Вычесть » это всё равно, что «прибавить ». То есть вычитание мы можем заменить на прибавление противоположного числа. И, наоборот, сложение мы всегда можем заменить на вычитание.

Ровно такая же ситуация и с взаимно обратными числами. Умножение мы можем заменить на деление обратного числа. Или, наоборот, деление заменить на умножение.

Примеры:

1) « умножить на » эквивалентно « разделить на ». То есть разделить на обратное число.

2) « разделить на » равносильно « умножить на ». То есть умножить на обратное число.

Пример:

Замените деление умножением, а умножение — делением.

1)

Для обратным является . В самом деле: 

Значит, если мы заменяем деление умножением, то нужно заменить на .

2)

Заменим теперь умножение делением.

Для обратным является число (). Заменяем:

Итак, мы дали определение взаимно обратных чисел и поговорили, как их можно использовать.

Если есть число, как найти ему обратное?

Мы уже знаем, что если дробь умножить на «перевёрнутую» дробь, то получится единица. Воспользуемся этим.

Пусть у нас есть число и надо найти обратное для него.

Какие могут быть случаи?

1) Дана обыкновенная дробь.

Если число уже имеет вид обыкновенной дроби, нужно перевернуть дробь — получаем обратное число.

2) Дано смешанное число.

Если число имеет вид смешанной дроби, нужно записать его как обыкновенную дробь и перевернуть — получаем обратное число.

3) Дано целое число.

Если число целое, нужно записать его как обыкновенную дробь и перевернуть — получаем обратное число.

4) Дана десятичная дробь.

Если число имеет вид десятичной дроби, нужно записать его как обыкновенную дробь, перевернуть и, если надо, сократить — получаем обратное число.

Второй способ записать обратное число для десятичной дроби — поступить как с целым числом.

Для числа обратным будет . Конечно, это то же самое обратное, что и найденное первым способом:

Умножим числитель и знаменатель дроби на :

Итак, во всех этих случаях нет никакой сложности найти для числа ему обратное.

Особые случаи нахождения обратных чисел

Осталось рассмотреть ещё два интересных случая.

1) Исходное число .

Если ноль умножить на любое число, получится ноль.

при любом .

То есть невозможно умножить ноль на какое-то число и получить единицу. Значит, для нуля не существует обратного. Это хорошо согласуется с нашими договоренностями о том, что на ноль делить нельзя. Число можно представить, как , но переворачивать такую дробь нельзя, иначе мы получим деление на ноль.

2) Исходное число .

Мы знаем, что . То есть по определению, и — взаимообратные числа. Иначе говоря, единица обратна сама себе.

Если применить метод переворачивания дроби, то получим то же самое.

Способы нахождения обратных чисел

В самом деле, даже если , то, разделив на эту дробь, мы получим перевёрнутую дробь.

Для нуля обратного не существует.

Единица сама для себя является обратным числом.

А как обстоят дела с обратными для отрицательных чисел?

Точно так же, как и с положительными.

Для числа обратным является , так как их произведение равно единице.

Свойство взаимно обратных чисел

Из способа нахождения обратного числа методом переворачивания следует очевидный, но важный факт.

Понятно, что числа  и  взаимно обратны.

У первой дроби числитель меньше знаменателя. Мы такую дробь называем правильной и знаем, что она меньше единицы. У второй дроби числитель больше знаменателя, мы называем её неправильной, и она больше единицы.

Это справедливо всегда. Возьмём для простоты дробь, у которой положительные числитель и знаменатель.

То одна дробь будет правильной, а другая — неправильной.

 и , ,

То есть, если есть два положительных взаимно обратных числа, то одно больше единицы, другое меньше единицы.

Конечно, это понятное свойство. Ведь если оба числа больше единицы, то их произведение тоже больше единицы и они не могут быть взаимно обратными.

Являются ли числа взаимно обратными?

 и 

Они оба больше единицы.

Их произведение тоже будет больше единицы. Они не могут быть взаимно обратными.

Самостоятельно подумайте, что можно сказать про два отрицательных взаимно обратных числа.

Заключение

Найти обратное число для исходного не составляет никакого труда.

Ниже можно посмотреть, чем похожи и чем непохожи противоположные числа и взаимно обратные числа.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников

2. Интернет-портал «math-prosto»

Проверьте себя

1. Найдите число, обратное числу:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

а) б) в) г) ; д)

2. Найдите значение выражения:

а)

б)

в)

3. Решите уравнение:

а)

б)

Список используемых источников:

Иллюстратор Семеркова Ю. В.