17. Различные методы решения уравнений. Профильный уровень

Аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств

Уравнения, неравенства и их системы – инструменты, которые мы используем для расчета моделей реальных ситуаций. Их решение – техника, которой мы уделяли много внимания на протяжении изучения всего курса алгебры. Сегодня – заключительный урок, посвященный этой теме. На нем мы систематизируем знания по решению различных математических моделей; рассмотрим методы решения уравнений и неравенств с модулями; вспомним, что такое уравнения с параметрами, и разберем еще несколько новых методов решения.

Глобально все методы решения уравнений и неравенств можно разделить на аналитические и графические. В аналитических методах ответ ищут с помощью эквивалентных преобразований выражений, в графических – при помощи построения графиков функций и графиков уравнений и их анализа.

Аналитические методы мы изучали на протяжении всего курса алгебры. С их помощью мы решали линейные и квадратные уравнения, простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся и различные методы, позволяющие свести более сложное уравнение к линейному и квадратному, в частности – метод замены.

Для решения систем уравнений мы изучили несколько аналитических методов: метод подстановки и метод домножения и сложения. Каждый из них позволял свести систему к одному уравнению с одной неизвестной. Для решения неравенств мы изучили метод интервалов, который позволял свести решение неравенства к решению уравнения.

Графическому методу мы уделили меньше внимания. Отчасти потому, что этот метод удобен в основном для нахождения количества решений и для нахождения приблизительного значения. И только если решения – целые числа, то с помощью этого метода можно найти точные значения. Но графический метод не стоит недооценивать. Во-первых, потому, что если цель – найти количество решений, то обычно это быстрее сделать с помощью графика. Во-вторых, некоторые приложения графического метода можно использовать как отдельные аналитические методы.

Вспомните: решая графическим методом неравенство вида , мы сделали вывод, что его решения – это промежутки, концы которых являются или корнями соответствующего уравнения, или особыми точками ОДЗ. Этот вывод мы использовали для обоснования метода интервалов, в котором нам уже не надо было строить графики (Решение квадратных неравенств. Метод интервалов).

Используя графический метод, мы также узнали такой полезный для решения некоторых уравнений факт: если в одной части уравнения стоит возрастающая функция, а в другой – убывающая, то уравнения имеет не больше одного корня. Это следствие также можно использовать без построения графиков: достаточно подобрать один корень такого уравнения. (Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции)

На этом уроке мы рассмотрим еще несколько методов, являющихся следствием графического метода, но речь о них пойдет немного позже. А пока вспомним в целом, как применять графический метод для решения различных математических моделей.

1. Графический метод решения уравнений. Пусть в общем виде есть уравнение . Строим графики двух функций:  и . Ищем точки пересечения этих графиков. Их абсциссы и будут корнями исходного уравнения (см. рис. 1).

2. Графический метод решения неравенств. Пусть в общем виде есть неравенство . Строим графики функций  и . Ищем такие значения , при которых график функции  выше функции (см. рис. 2).

Если же неравенство f(x) < g(x), то ищем, чтобы функция  была, соответственно, ниже. Это и будут решения неравенства (см. рис. 3).

Если неравенство нестрогое, не забываем включить в ответ концы интервалов.

3. Графический метод решения систем двух уравнений с двумя неизвестными. Для решения достаточно построить графики каждого из уравнений и найти точки их пересечения – их координаты и будут решениями системы (см. рис. 4).

Задание 1. Решить систему уравнений:

Решение

Второе уравнение системы наталкивает на мысль, что можно использовать метод подстановки. Но, если мы его применим, получим уравнение:

Тут неизвестная и в основании, и в показателе степени. Для таких уравнений у нас не было алгоритмов решения.

Попробуем использовать графический метод. В первом уравнении сумма квадратов переменных подсказывает, что должна получиться окружность. Переносим неизвестные в одну стороны и выделяем полные квадраты:

График этого уравнения – окружность с центром в точке  и радиусом .

График второго уравнения – это график показательной функции. В основании – число больше , значит, она будет возрастающей (см. рис. 5).

Решениям системы соответствуют точки пересечения графиков. Видим, что это точки  и . Но обязательно нужно проверить их, подставив в систему уравнений. Если получим верные равенства, то это точные корни. Если же значения левых и правых частей будут близки, но не равны, то это приближенные значения корней. Проверяем:

Равенства верные, пара чисел – точное решение.

Равенства верные, пара чисел  также точное решение.

Ответ: ;.

Уравнения и неравенства с модулем

Рассмотрим новый тип математических моделей, с которыми вы ранее практически не сталкивались – уравнения и неравенства с модулями. Напомним: модулем числа называется расстояние от этого числа до нуля на числовой оси. Соответственно, для положительных чисел и нуля их модуль равен самому числу:

при

Для отрицательных чисел модуль равен противоположному им положительному числу:

при

В целом это записывают так:

Для решения уравнений и неравенств с модулем можно использовать графический метод, построив графики соответствующих функций с модулями. Как их строить, мы уже знаем (Практика. Функции). Но удобнее все же использовать аналитический метод. Мы рассмотрим два метода решений уравнений и неравенств с модулями. Первый – используя определение модуля; второй – раскрывая модуль.

Первый метод удобен для решения уравнений вида  и неравенства вида . Разберем все возможные варианты по порядку.

1. В уравнении  справа стоит положительное число . По определению, – это расстояние от числа  до нуля. Если это расстояние равно , то возможны два таких числа:  и . Получаем:  или .

2. Если в уравнении  справа стоит ноль, т. е. только одно число, модуль которого равен нулю – это число . Т. е. .

3. Если в уравнении  справа стоит отрицательное число , то уравнение не имеет решений, поскольку расстояние не может быть отрицательным.

Аналогично можно разобрать и неравенства.

1. Неравенство  означает, что расстояние от числа  до нуля больше . Для  это означает, что  или  .

2. Если справа стоит ноль, то неравенство  верно для всех ненулевых значений.

3. Если же , то неравенство выполнено всегда: любое расстояние всегда больше отрицательного числа.

4. Неравенство  означает, что расстояние от числа  до нуля меньше . Для  это означает, что .

5. Если справа стоит ноль или отрицательное число, то неравенство  не имеет решений, ведь расстояние не может быть меньше нуля или любого отрицательного числа.

Обратите внимание: в каждом из случаев мы либо сразу получали ответ, что нет решений, либо получали уравнения или неравенства, но уже без модулей. А их мы уже умеем решать. Это было общее описание метода, разберем его на примерах.

Задание 2. Решить уравнение:

Решение

Модуль равен положительному числу, значит:

Получили два квадратных уравнения, их мы уже умеем решать. Попробуйте самостоятельно найти их корни. Должны получить ответ:

Ответ: ;.

Задание 3.Решить уравнение:

Решение

Смотрим на правую часть: , значит, справа стоит отрицательное число. Модуль – величина неотрицательная, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Задание 4. Решить неравенство:

Решение

Справа – положительное число, можем записать неравенство:

С подобными неравенствами мы уже ранее сталкивались. Попробуйте решить его самостоятельно:

Ответ: .

Задание 5. Решить неравенство:

Решение

Поскольку неравенство содержит корень, в первую очередь записываем ОДЗ:

Смотрим на само неравенство. Оно верно для всех значений подмодульного выражения, кроме нуля: . Итак, исходное неравенство мы свели к системе:

В первом неравенстве: . Во втором решаем уравнение:

Это иррациональное уравнение, с ним вы уже знакомы. Его корень . В системе был знак «неравно», значит, :

Отмечаем на оси ; (см. рис. 6):

Получаем ответ:

Ответ: .

Перейдем ко второму методу решения уравнений и неравенств с модулем. Суть его состоит в том, что задачу мы рассматриваем не на всей области определения. Мы смотрим отдельные промежутки, на которых мы точно знаем знаки подмодульных выражений. В этом случае мы можем раскрыть модули и решить полученное уравнение или неравенство для каждого промежутка. А уже затем записать общее решение.

Задание 6. Решить неравенство:

Решение

Здесь у нас только один модуль. Найдем промежутки для , на которых мы точно знаем знак выражения . Итак, , когда . Соответственно, , когда . Получили  промежутка:

1. . На этом промежутке , поскольку под модулем – положительное число.

2. . На этом промежутке , поскольку под модулем – отрицательное число.

Решаем неравенство на каждом из промежутков:

1. . Это обычное линейное неравенство. Его решение: . Но нам нужно решение только на рассматриваемом промежутке (см. рис. 7). Получим: .

1. . Решением этого неравенства является: . Оставляем только ту часть, что входит в промежуток (см. рис. 8):

Получив решения на каждом из промежутков, объединяем их:

Или просто:

Ответ: .

Это же неравенство можно было решить и первым методом. Подробнее об этом ниже.

Решение другим методом

Неравенство похоже на общий вид , но в правой части стоит неизвестная величина:

Можно применить метод для подобного неравенства, рассмотрев различные значения переменной.

Если , то в левой части будет стоять отрицательная величина. Неравенство  не будет иметь решений.

Если , то . Можем проверить, является ли это число корнем неравенства:

Неравенство неверное, значит,  не является решением.

Если , то справа стоит положительное выражение. Т. е. расстояние от 0 до  меньше некоторого числа . Это можно переписать так:

Запишем это через систему:

Решая полученную систему уравнений, мы получим . Весь этот промежуток удовлетворяет условию , значит, он и является решением исходного неравенства.

В задаче может быть не один, а несколько модулей. Но ход решения от этого не изменится: нужно искать промежутки, где подмодульные выражения имеют постоянный знак.

Задание 7. Решить уравнение:

Решение

Нужно оценить, когда выражения  и  принимают положительные значения, а когда – отрицательные. Это можно сделать методом интервалов.

Решаем уравнение:

Корни:

Расставляем их на оси. Левой части уравнения соответствует парабола ветвями вверх, поэтому получаем следующие знаки на интервалах (см. рис. 9).

Там, где значения положительные, будем раскрывать модуль со знаком ≪+≫:

Там, где отрицательные, – со знаком ≪-≫:

Аналогично для второго модуля. Решаем уравнение:

Корни:

Расставляем их на оси. Здесь тоже парабола ветвями вверх, поэтому получаем знаки (см. рис. 10):

Поскольку это у нас один и тот же , отметим промежутки на одной оси. Здесь же отметим знаки каждого из подмодульных выражений (см. рис. 11).

Получили  промежутка, на каждом из которых можем однозначно раскрыть модули. Решим полученные уравнения на каждом из них:

1. . Уравнение примет вид:

Его корни:

Но в данный промежуток входит только .

1. . Уравнение примет вид:

Корень:

Не входит в данный промежуток.

1. . Уравнение примет вид:

Корень:

Не входит в данный промежуток.

1. . Уравнение примет такой же вид, как и на первом промежутке:

Корни:

В промежуток входит только корень .

Итого получаем, что на 2-м и 3-м промежутке нет корней уравнения, на первом ; на четвертом . Объединяя решения получаем ответ: .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели два аналитических метода решения уравнений и неравенств с модулями. Первый метод более простой и быстрый, но только для определенных видов уравнений. Второй способ более долгий, зато универсальный.

Если в задании у вас есть несколько вложенных модулей, то можно комбинировать эти два метода. С примером решения подобного задания вы можете ознакомиться в ответвлении.

Пример

Решить уравнение:

Решение

Здесь можно применить лишь один метод – использовать определение модуля. Но можно и комбинировать методы. Так, можно раскрыть внешний модуль. Обратим внимание:  и . Из этого следует, что внутри внешнего модуля стоит положительное выражение при любом значении неизвестной. Можем раскрыть его со знаком ≪+≫. Получим уравнение:

Или:

Теперь используем первый метод:

Ответ: ;.

Уравнения с параметром. Аналитический метод

Далее в уроке мы рассмотрим уравнения с параметром. Ранее мы уже рассматривали решение линейных и квадратных уравнений с параметром (Решение уравнений с параметром). Вкратце напомним, что это такое.

Параметр – это переменная, входящая в состав уравнения или неравенства. Ее значение считают известным, однако оно может меняться. Выделяют два основных типа задания с параметром.

1. Найти корни уравнения или неравенства при всевозможных значениях параметра.

2. Найти такие значения параметра, при которых корни уравнения или неравенства удовлетворяют определенному условию. Это может быть количество корней, их расположение относительно заданных чисел и прочее.

Задания первого типа удобно решать аналитическим методом. Идея такова: поскольку параметр считаем заданным числом, то решаем задачу по алгоритму, соответствующему данному типу уравнения: линейному, квадратному, иррациональному, тригонометрическому и т. д. При этом на каждом шаге алгоритма обращаем внимание на особенности: возможное деление на ноль, смену знака неравенства, извлечение корней, раскрытие модуля и т. п. Значения параметра, при которых возникают эти особенности, рассматриваем отдельно.

Задания второго типа удобнее решать графически. Ведь именно графики дают наглядное представление о количестве и расположении корней уравнения или неравенства. Начнем с аналитического метода решения уравнений с параметром.

Задание 8. Решить неравенство для всех значений параметра :

Решение

Видим показательное неравенство, значит, действуем по алгоритму решения показательных неравенств. Для начала смотрим на недопустимые значения. В показательных выражениях нет ограничений на ОДЗ, но есть ограничения на основание степени – оно должно быть положительным:

Только при таких значениях  выражения имеют смысл. В остальных случаях, когда , неравенство не имеет смысла.

Переходим непосредственно к решению. Основания одинаковы, можем перейти к неравенству для степеней. Но, в зависимости от значения основания, знак неравенства или изменится на противоположный, или нет. Рассмотрим отдельно эти случаи.

1. , тогда:

В этом случае знак неравенства не изменится:

Решая методом интервалов, получим:

1. , тогда:

В этом случае знак неравенства изменится на противоположный:

Решая методом интервалов, получим:

1. , тогда:

В этом случае получим неравенство:

Поскольку 1 в любой степени равно 1, то неравенство примет вид:

Неравенство верное, значит, решения:

Таким образом:

1. при  неравенство не имеет смысла;

2. при , ;

3. при ,;

4. при ,.

Итак, мы перечислили все возможные значение параметра и записали для каждого из них решения неравенства.

Ответ: при  неравенство не имеет смысла; при ,; при ,; при ,.

Задание 9. Решить уравнения для всевозможных значений параметра :

Решение

Видим простейшее тригонометрическое уравнение. Решаем по соответствующему алгоритму. Прежде всего, смотрим на правую часть. Если она по модулю больше , то уравнение не будет иметь решений. Т. е. при , то .

Если же правая часть по модулю меньше или равна , то корни уравнения можно записать по формуле в общем виде:

Итак, решения мы уже нашли, осталось найти, при каких именно значениях параметра они достигаются.

Решим неравенство . Удобнее сделать это по определению. Если модуль больше , то расстояние от числа до нуля больше :

Эти квадратные неравенства можно решить методом интервалов. Попробуйте сделать это самостоятельно. В итоге в первом вы должны получить ответ:

Во втором решений нет. Получаем, что решением неравенства  является:

При этих значениях параметра исходное уравнение не будет иметь решений. В остальных случаях при  уравнение имеет корни:

Ответ: при ,.

Уравнения с параметром. Графический метод

Перейдем к графическому методу решения уравнений с параметром. Как уже было сказано, этот метод удобен, когда нужно оценить количество решений уравнения в зависимости от значения параметра. Идея такая же, как и в любом графическом методе: строим графики соответствующих функций или уравнений. Отличие лишь в том, что параметр влияет на положение графика: на его сдвиг, наклон, растяжение и прочее.

Задание 10. Определить значение параметра , при котором уравнение имеет ровно один корень.

Решение 

Для начала перенесем все слагаемые с параметром в одну сторону, остальные – в другую. В этом случае график одной части уравнения будет постоянным, а вот график другой части, в которой параметр, будет изменяться:

Для решения графическим методом построим графики функций:  и . Первый график изменяться не будет, он не содержит параметр.

Вспомним, что функция  задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом  (Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Функции). Тогда – это та же полуокружность, но смещенная на  вниз (см. рис. 12).

Теперь попробуем построить график . Это график прямой, поскольку  стоит в первой степени. При изменении параметра  будет изменяться и наклон, и положение прямой. Но можно найти неподвижную точку. Вынесем за скобки параметр:

При  значение функции не зависит от параметра и равно . Значит, при любом значении  прямая проходит через точку  (см. рис. 13). При изменении этого параметра прямая будет поворачиваться вокруг этой точки.

Чтобы уравнение имело одно решение, нужно, чтобы была только одна точка пересечения прямой и полуокружности. Это возможно, если прямая будет касаться полуокружности, т. е. проходить через точку  (см. рис. 14).

Далее, при повороте, будут две точки пересечения вплоть до крайней точки . Затем будет одна точка пересечения вплоть до точки . При остальных положениях прямой она не будет пересекать полуокружность (см. рис. 15).

Найдем значения параметра, при которых прямая проходит через каждую из указанных точек. Прямая, проходящая через точку , совпадает с осью абсцисс. Уравнение прямой . Следовательно, в уравнении  параметр .

Точка  имеет координаты . Прямая  проходит через эту точку, значит, можем подставить координаты в уравнение прямой:

Точка  имеет координаты . Подставляем координаты в уравнение прямой:

Итак, прямой  соответствует параметр . Имеем один корень уравнения.

Прямой  соответствует параметр . Имеем два корня. При большем значении параметра будет один корень, вплоть до прямой , которой соответствует . Таким образом, уравнение имеет один корень при  и .

Ответ: ;.

Задание 11. Определить значение параметра , при котором уравнение имеет ровно два различных корня:

Решение

Сразу построить график функции, соответствующей левой части уравнения, не удастся: там  стоит и в основании логарифма, и под логарифмом. Таких функций мы не умеем строить. Поэтому преобразуем уравнение:

Учтем условия, когда логарифм имеет смысл: ;;.

Поскольку , то . Учитывая, что , условие  выполнено автоматически. Итак, исходное уравнение равносильно системе:

Преобразуем:

Полученное уравнение можно решить графически. График функции – это прямая, параллельная оси абсцисс. График функции  с условиями ;– это часть параболы с выколотой точкой (см. рис. 16).

Ищем положение прямой , при которой будут две точки пересечения.

При  прямая проходит через выколотую вершину параболы, решений не будет.

При больших значениях  прямая будет пересекать параболу в двух точках. При  прямая пересечет параболу только в одной точке (вторая выколота). При больших значениях будет всего одно пересечение. Получаем, что два решения будет только при значениях .

Ответ: .

Область определения и область значений в графическом методе

В конце нашего урока разберем несколько методов решения уравнений. Они основаны на графическом методе, но с его помощью мы лишь обоснуем эти методы. А для их использования нам уже не нужно будет строить графики функций.

Рассмотрим графический метод в общем виде. Пусть задано уравнение вида . Для решения его графическим методом нужно построить графики функций  и . Абсциссы точек пересечения графиков будут соответствовать решениям уравнения.

Первый метод основан на анализе области определения этих функций. Если окажется, что области определения функций не пересекаются, то их графики, естественно, не могут пересечься. Это означает, что уравнение не будет иметь решений. Если же области определения пересекаются в одной или нескольких точках, то пересечения графиков будут возможны только в этих точках и для решения уравнения достаточно будет проверить эти точки: действительно ли в них пересекаются графики.

Эти рассуждения можно применить и без построения графиков. Для этого находим ОДЗ заданного уравнения. Если это пустое множество, то уравнение не имеет решений. Если ОДЗ – это одно или несколько значений, то проверяем эти значения, подставляя их в уравнение.

Задание 12. Решить уравнение:

Решение

Если попытаться решить это уравнение как обычное логарифмическое, то получим уравнение вида:

Непонятно, как его решать. Но попробуем сразу найти ОДЗ:

;

Подлогарифмическое выражение может быть только положительным:

Для ОДЗ получаем систему:

Она, очевидно, не имеет решений, поскольку из первого неравенства следует, что , а из третьего, что . Таким образом, ОДЗ уравнения – пустое множество. Значит, уравнение не может иметь решений.

Ответ: решений нет.

Задание 13. Решить уравнение:

Решение

Здесь у нас и аркфункции, и корень – классическими методами точно не получится решить. Найдем ОДЗ. Аргументы арккосинуса могут принимать значения от  до :

Выражение под квадратным корнем может принимать только неотрицательные значения:

Получаем систему для ОДЗ:

Решая неравенства, получаем:

Видим, что решением системы является одно единственное значение . Т. е. в ОДЗ уравнения только одно значение. Проверим его, подставив:

Это верное равенство, значит, – корень уравнения. Причем это единственный корень, ведь в ОДЗ нет других значений неизвестной. Если бы при подстановке мы бы получили неверное равенство, это бы означало, что уравнение не имеет решений.

Ответ: .

Второй метод основан на области значений функций, которые соответствуют левой и правой части уравнения. Если области значений не пересекаются, то и графики не смогут пересечься. Корней у уравнения не будет.

Если же области значений пересекаются в одной или нескольких точках, достаточно проверить эти точки: являются ли они корнями уравнения.

Все эти можно проделать и без построения графиков. Достаточно оценить значения левой и правой части уравнений и посмотреть, пересекаются ли они.

Задание 14. Решить уравнение:

Решение

Стандартными методами решить не получится: тут и синус, и квадратный корень. Использовать оценку ОДЗ также не выйдет: синус не имеет ограничений на ОДЗ, под корнем и так стоит положительная величина. Поэтому попробуем оценить значения левой и правой части. Про синус мы знаем, что:

Оценим правую часть: , тогда , тогда .

Обратите внимание: области значений не пересекаются. У левой части наибольшее возможное значение –, а у правой наименьшее –. Равенство не может быть достигнуто ни при каких значениях .

Ответ: решений нет.

Задание 15. Решить уравнение:

Решение

Неизвестная стоит и в показателе степени, и в знаменателе дроби. Стандартные методы не сработают. Оценка ОДЗ тоже. Пробуем оценить значения выражений. Начнем с левой части. Оценим степень. Видим квадратный трехчлен, его можно оценить, выделив полный квадрат:

, тогда

Поскольку в основании степени стоит число, большее , то из неравенства  следует:

Откуда:

Оценим левую часть: , тогда . Слева и справа в неравенстве – положительные величины, можем записать неравенство для обратных к ним:

Умножив на , получим:

Итак, значения левой части больше либо равны , значения правой – меньше либо равны . Равенство левой и правой частей возможно только в том случае, когда каждая из них равна :

Обратите внимание, что эти условия должны выполняться одновременно. Т. е. это будет система:

Решаем по отдельности каждое из уравнений. Первое показательное:

Во втором можем избавиться от знаменателя:

Получаем:

 одновременно не может равняться и , и . Значит, уравнение не имеет решений.

А вот если бы мы получили одинаковые значения – это и был бы корень уравнения.

Ответ: решений нет.

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Решить систему уравнений: 

2. Решить неравенство: 

3. При каких значениях  ось симметрии параболы  пересекает ось абсцисс левее точки ?