12. Инструменты математики: законы логики, умозаключения. Профильный уровень

Логика высказываний

Итак, мы уже знаем, что логическое высказывание — это такое утвердительное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

«Тихий океан — самый большой океан планеты» — пример истинного высказывания.

«Марс больше Земли» — пример ложного высказывания.

Логика высказываний не занимается доказательством истинности или ложности элементарных высказываний, оставляя эти вопросы тем наукам, где они появились.

В обычной жизни мы из простых высказываний строим более сложные, составные. Так, из двух простых высказываний «сегодня будет дождь» и «сегодня будет ветер» мы можем построить различные составные:

«сегодня будут дождь и ветер»;

«сегодня будет дождь, но без ветра»;

«не будет ни дождя, ни ветра»;

«сегодня будет ветер, значит, не будет дождя».

Логика высказываний берёт такие конструкции и формализует их. А именно перечисляет возможные логические связки, операции, с помощью которых из высказываний можно строить составные.

Рассмотрим эти операции, их не так много, как может показаться на первый взгляд.

Логические операции

Начнём с операции логического «НЕ», или отрицания.

Она обозначается частицей НЕ или чертой над исходным высказыванием и меняет истинность исходного высказывания на противоположную. Если исходное утверждение истинное, то его отрицание будет ложным. И наоборот.

Если , то . Очевидно, что «третьего не дано» — будет или , или .

Каждая операция задаётся своей таблицей истинности. У отрицания она очень простая. Если  истинно, то  ложно, и наоборот.

Проиллюстрировать логические операции можно с помощью кругов Эйлера.

Круг  соответствует множеству истинности высказывания . Вся остальная область соответствует высказыванию .

Например, если на некотором множестве людей мы рассмотрим высказывание «Х — очень высокий человек», то все очень высокие люди войдут в множество истинности этого высказывания (круг ), а остальная область будет соответствовать высказыванию . Туда войдут все люди низкого, среднего и даже просто высокого роста, но не очень высокие.

Если — это множество всех дождливых дней, то — множество дней без дождя.

Отрицание находит своё отражение в языке. Так, мы говорим «он мне не друг», когда подразумеваем, что человек может быть кем угодно, кроме друга: товарищем, знакомым, незнакомым или врагом. Если мы хотим подчеркнуть противоположность значений, то пишем без пробела: «он мне недруг», то есть «враг».

Следующая операция ― логическое«И», или конъюнкция (от лат. conjunctio — «союз, связь»).

Обозначается специальным символом  или . Последний символ называется амперсанд и широко используется не только в логике, но и в других сферах, например в программировании.

Часто эту операцию называют логическим умножением и используют знак умножения .

Конъюнкция верна в том и только том случае, если верны оба высказывания, входящих в конъюнкцию.

«Сегодня дождь и ветер» верно только в случае, если верны оба высказывания по отдельности, — первая строчка таблицы.

В математике для этой операции мы используем понятие системы. Например, системы уравнений или неравенств.

На кругах Эйлера конъюнкции соответствует пересечение множеств истинности высказываний.

Если — это множество всех дождливых дней, а — ветреных, то пересечение множеств — это и есть множество истинности высказывания «сегодня дождь и ветер».

В таблицах истинности часто вместо «И» ставят «», а вместо «Л» — «». Тогда понятен смысл конъюнкции как логического умножения: если хотя бы один из элементов равен  (хотя бы одна из частей сложного высказывания ложная), то и произведение (всё высказывание) будет ложным. Истинным оно будет, только если все составные части истинные (произведение равно , только если все множители равны ).

Следующая операция логическое«ИЛИ», или дизъюнкция (от лат. disjunctio — «разобщение»).

Обозначается специальным символом . Её также называют логическим сложением и используют знак суммы .

Такое высказывание истинно, если истинно хотя бы одно высказывание, входящее в дизъюнкцию.

«Сегодня дождь или ветер» верно, если есть хотя бы одно или сразу оба явления.

В математике этой операции соответствует совокупность.

На кругах Эйлера дизъюнкции соответствует объединение множеств.

Обратите внимание, что отрицание дизъюнкции — это конъюнкция отрицаний. Звучит сложно, но суть очень простая: отрицание к фразе «сегодня будут дождь или ветер» — фраза «сегодня не будет дождя и не будет ветра».

Следующая логическая операция — следование, или импликация. Она появляется из таких высказываний, где одно зависит от другого: «Если… то…».

Записывается с помощью одинарной стрелки: .

Таблица истинности этой операции не такая очевидная, как у предыдущих, поэтому остановимся на ней чуть подробнее.

Изучим фразу «Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять».

Высказывание — «хорошая погода»,

высказывание  — «иду гулять»,

— и есть наша фраза.

Если оба высказывания  и  окажутся истинными, то есть погода установилась хорошая и человек пошёл гулять, значит, он выполнил своё обещание и импликация оказалась истинной.

Если погода была хорошая, а человек гулять не пошёл, значит, он нарушил обещание и импликация ложна.

Интересны случаи, когда погода была плохая.

Независимо от того, пошёл человек гулять или нет, он обещания не нарушал. То есть импликация в обоих случаях истинна.

Таким образом, импликацию можно определить следующим образом: это логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям третье, ложное тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) истинно, а второе (следствие) ложно.

На диаграмме Эйлера для иллюстрации импликации нужно из универсального множества исключить случай выполнения , но не выполнения .

Последняя операция, которую мы рассмотрим, называется эквиваленция.

Мы её используем в таких конструкциях, как «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно».

Обозначается эта операция двунаправленной стрелкой: .

Эквиваленция истинна, если оба высказывания, в неё входящие, имеют одно значение. Или оба истинны, или оба ложны.

Иными словами, если эквиваленция  истинна, то высказывания  и  эквивалентны.

Этот факт записывают с помощью знака равно .

На кругах Эйлера область истинности эквиваленции состоит из тех областей, где оба высказывания выполняются или оба не выполняются.

Изо лжи следует всё что угодно

Пожалуй, самый известный пример иллюстрации принципа «изо лжи следует всё что угодно» привёл Бертран Рассел, учёный, который много занимался математической логикой.

Говорят, Папа Римский в разговоре с Расселом спросил: «В самом ли деле из любого ложного утверждения можно вывести абсолютно любое другое?», на что Рассел ответил: «Да, конечно, смотрите, как из утверждения 2 + 2 = 5 выводится, что я — это вы».

Предположим, что 2 + 2 = 5.

Вычтем из обеих частей по 2:

4 – 2 = 5 – 2,

2 = 3.

Переставим левую и правую части:

3 = 2.

Вычтем из обеих частей по 1:

3 – 1 = 2 – 1,

2 = 1.

«Папа Римский и я — нас двое. Так как 2 = 1, то Папа Римский и я — одно лицо. Следовательно, я — Папа Римский».

Эта шутка Рассела позволяет запомнить принцип, но всё же не является хорошей логической иллюстрацией в том смысле, что больше похожа на хорошую эквилибристику словами. Есть подозрение, что Рассел смог бы прийти к тому, что он Папа Римский и без исходного ложного утверждения.

Рассмотрим более прозаические выводы, которые можно сделать из предложенного Расселом ложного утверждения.

Пусть 2 + 2 = 5,

4 = 5.

К обеим частям равенства добавим равные числа: к левой — 4, к правой — 5:

4 + 4 = 5 + 5,

8 = 10.

Из ложного утверждения получили другое ложное.

Вернёмся на шаг назад:

4 = 5.

Прибавим к обеим частям равные числа, но наоборот: к левой части — 5, к правой — 4:

4 + 5 = 5 + 4,

9 = 9.

Таким образом, из ложных утверждений мы с лёгкостью можем получать как ложные, так и истинные утверждения.

Исходный вопрос был в том, можно ли получить не просто ложное, а любое ложное утверждение. Например, 1 = 100. Ответ положительный, это несложно.

4 = 5.

Вычитаем 4 из обеих частей:

4 – 4 = 5 – 4,

0 = 1,

1 = 0.

Далее можно сколь угодно много прибавлять равные числа: с одной стороны 0, с другой стороны 1, пока не получится нужное равенство:

2 = 0; 3 = 0 … 100 = 0.

Итак, 100 = 0, но и 1 = 0, а значит, 1 = 100.

Основные логические правила

Для логики истинность элементарного высказывания не является предметом изучения. С этой точки зрения элементарные высказывания , и так далее — это логические переменные, принимающие значения И и Л ( и ).

Кроме того, есть две логические константы — И и Л.

Любое высказывание является конечным набором переменных и констант, связанных логическими операциями.

Два высказывания, которые принимают одинаковые значения при любом наборе значений переменных, являются эквивалентными. Для них мы будем писать, что .

Таких формул существует бесконечное количество.

Наиболее часто встречаемые и важные равенства называются логическими правилами или законами.

Рассмотрим некоторые из них.

Закон противоречия:

.

Этот закон утверждает, что не могут одновременно быть истинным и прямое высказывание, и его отрицание.

Закон исключённого третьего утверждает, что среди прямого высказывания и его отрицания всегда есть истинное высказывание и третьего варианта не существует.

Два этих закона позволяют доказывать истинность (или ложность) высказывания через доказательство ложности (или истинности) противоположного высказывания.

Вспомните, мы часто используем в доказательствах «метод от противного»: рассматриваем отрицание высказывания, доказываем его ложность, из чего заключаем истинность исходного высказывания.

Два закона идемпотентности (лат. idem — «тот же самый» + potens — «способный»)

, означают, что применение несколько раз конъюнкции или дизъюнкции к одному и тому же высказыванию ничего не меняет.

Этот принцип мы используем при упрощении систем или совокупностей. Если в процессе преобразования системы или совокупности мы увидим, что два высказывания эквивалентны, то одно из них мы удалим.

Например, в системе первые два высказывания являются конъюнкцией эквивалентных высказываний. Одно можно «удалить», в результате чего получится эквивалентная система неравенств .

Закон удаления знака эквиваленции:

.

 эквивалентно  тогда и только тогда, когда из  следует  и из  следует .

То есть эквиваленция двух высказываний равносильна конъюнкции (одновременному выполнению) двух импликаций (следований): в одну и другую сторону.

Мы используем это правило при доказательстве необходимых и достаточных признаков.

Например, мы доказывали следующий необходимый и достаточный признак параллелограмма:

«У четырёхугольника пары противоположных сторон равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник — параллелограмм».

Доказательство состояло из двух частей.

Мы показывали, что в параллелограмме противоположные стороны равны, и, наоборот, из равенства сторон выводили, что четырёхугольник — параллелограмм.

Законы отрицания кванторов:

,

.

Прочитать их можно следующим образом:

1. Высказывание «Неверно, что для любого  выполняется » эквивалентно высказыванию «Существует , для которого не выполняется ».

2. Высказывание «Неверно, что существует , для которого выполняется » эквивалентно высказыванию «Для любого  не выполняется ».

Эти правила мы используем, если хотим опровергнуть утверждение всеобщности в первом случае или существования во втором.

Рассмотрим утверждение «все лебеди белые». Для того чтобы верным было его отрицание («не все лебеди белые»), достаточно «предъявить» (квантор существования) хотя бы одного небелого лебедя.

И наоборот, если мы хотим опровергнуть утверждение «существуют красные лебеди», то нам нужно доказать, что все лебеди не являются красными.

Мы рассмотрели далеко не все логические законы. Другие законы вы можете изучить самостоятельно, некоторые из вас займутся этим в университете, на математических факультетах.

Типы математических утверждений

Теперь поговорим о том, как логика используется в построении математической теории.

Все математические утверждения можно с достаточной точностью поделить на два типа: частные и общие.

К частным относятся равенства, уравнения, неравенства (числовые или с переменной), утверждения относительно конкретной геометрической фигуры и многие другие.

Например:

2 + 5 = 7,

4 + 3 > 10.

Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то гипотенуза равна 5.

Это частные математические утверждения, с точки зрения логики являющиеся высказываниями, так как можно однозначно сказать, истинны они или ложны.

Утверждения вида

3x + 2 = 6,

x + y > 0 ―

это частные утверждения, которые с точки зрения логики являются высказываниями с переменными, или предикатами.

Они принимают различные значения истинности, в зависимости от того, какие значения принимают переменные, в них входящие.

Второй тип утверждений описывает целый класс объектов и претендует на истинность для всех значений математических переменных, в них входящих.

Их можно разделить на три вида:

1. Определение — это договорённость называть некий класс объектов каким-либо именем.

2. Аксиома — утверждение, истинность которого принимается без доказательства.

3. Теорема — утверждение, истинность которого устанавливается доказательством.

Попробуйте различить три типа этих утверждений в следующих примерах:

Если у параллелограмма все стороны равны, то такой параллелограмм называется ромбом.

Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Для любых двух чисел а и b, не равных друг другу, либо а > b, либо b > a.

Трудности могут возникнуть с классификацией последнего утверждения. Это аксиома. Аксиомы, конечно, бывают не только в геометрии, но и, например, в алгебре.

Из всех общих утверждений на этом уроке нам будут важны теоремы, так как только они требуют доказательств, а определения и аксиомы — это наши договорённости, которые мы будем использовать для доказательства теорем.

Чаще всего теорема является импликацией предикатов с квантором всеобщности:

.

Для любого из следует .

 называют условием теоремы, а — заключением.

Переменных может быть несколько:

.

Одна из первых теорем в курсе школьной геометрии звучит так: «Вертикальные углы равны».

Кажется, её структура не соответствует описанной форме. Мы не видим ни квантора всеобщности, ни предикатов (то есть предложений с переменными).

Всё дело в том, что в математике обычно все формулировки записываются менее строго, чем это требует логика высказываний. Этим достигается бо́льшая лёгкость их восприятия.

Если записывать эту теорему абсолютно формально, то нужно сказать следующее:

«Для любого угла альфа и любого угла бета (два квантора всеобщности) верно, что если альфа и бета вертикальные (условие), то альфа и бета равны (заключение)».

Для краткости есть договорённость опускать кванторы всеобщности и делать стрелку следования двойной.

То есть записи  и  считаются равносильными.

Когда мы утверждаем, что лошадь — это млекопитающее, мы подразумеваем, что это относится к любой лошади.

Вы можете восстановить квантор (или кванторы) всеобщности, начав условие теоремы со слов «для любого», «для любых».

Намного реже встречаются теоремы существования.

Высказывание вроде «существуют взрослые лошади, ростом меньше 1 метра» относится к высказываниям существования. Здесь речь идёт, конечно, не обо всех лошадях.

Примером математической теоремы существования является следующая:

«Простых чисел бесконечное количество».

С точки зрения логики высказываний строго её можно записать следующим образом:

.

Для любого  существует такое , большее , что — простое число.

Утверждения существования как самостоятельные теоремы в школьных курсах алгебры и геометрии практически не встречаются.

Зато мы очень часто используем такие утверждения для опровержения неверных общих утверждений.

Неверное утверждение всеобщности «в любой четырёхугольник можно вписать окружность» опровергается верным утверждением существования «существуют четырёхугольники, в которые нельзя вписать окружность». Чтобы доказать истинность последнего утверждения (а значит, и опровергнуть первое), достаточно привести один пример такой фигуры, например прямоугольник, не являющийся квадратом.

Виды теорем

Итак, подавляющее число теорем имеет вид .

Двойная стрелка указывает на то, что импликация верна для любого .

Множество истинности  включается в множество истинности . Если верно и обратное, то вместо следствия мы получаем равносильность: .

Предикат  называется условием теоремы, предикат  называется заключением теоремы.

При этом для всех из множества истинности  утверждение  называется свойством, или необходимым условием.

Для всех из множества истинности  утверждение  называется признаком, или достаточным условием.

Это легко запомнить следующим образом: более широкое множество соответствует свойству, а более узкое — признаку.

Рассмотрим это на примере следующей теоремы:

«У ромба диагонали взаимно перпендикулярны».

Переформулируем её в виде .

«Если четырёхугольник — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

Предикат — это условие теоремы.

Предикат — это заключение теоремы.

При этом , то есть перпендикулярность диагоналей, является свойством ромба.

— «быть ромбом» является признаком четырёхугольника с взаимно перпендикулярными сторонами.

Таким образом, любую теорему вида  можно считать свойством или признаком, в зависимости от того, на что мы делаем акцент, какое множество мы изучаем.

Представьте, что вы изучаете ромбы. То есть более узкое множество в нашем примере.

Утверждение «у ромба диагонали взаимно перпендикулярны» воспринимается вами как свойство ромба.

А теперь представьте, что вы изучаете все четырёхугольники с взаимно перпендикулярными диагоналями. И ищете признаки, по которым можно такие четырёхугольники отделить от других.

Тогда то же самое утверждение «у ромба диагонали взаимно перпендикулярны» вы воспринимаете как признак нужных вам четырёхугольников.

Две теоремы вида  и  называются взаимно обратными.

Одну из них можно принять за прямую, тогда вторую называют обратной.

Утверждение «в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» называют теоремой Пифагора.

Утверждение «если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то такой треугольник прямоугольный» называется теоремой, обратной теореме Пифагора.

Чтобы обе теоремы были верны, необходимо, чтобы оба множества истинности совпадали, то есть оба предиката были эквивалентными.

Часто такие пары теорем формулируют в виде одной, заменяя две импликации на одну эквиваленцию, используя логический закон удаления знака эквиваленции .

Это значит, что две верные теоремы  и  можно заменить одной:

.

Такая связка в теореме будет звучать как «тогда и только тогда», «в том и только том случае».

Каждый предикат тогда является и свойством, и признаком.

Часто такие теоремы называют «необходимым и достаточным условием», «необходимым и достаточным признаком».

Вот пара хорошо нам известных взаимно обратных теорем:

«В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Мы её воспринимаем как свойство равнобедренного треугольника. При желании равнобедренность можно воспринимать как признак равенства двух углов.

Обратная теорема:

«Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный».

Мы её считаем признаком равнобедренного треугольника. Но также её можно воспринимать как свойство треугольников с двумя равными углами.

Объединив две теоремы в одну с помощью эквиваленции, мы получим необходимое и достаточное условие (или необходимый и достаточный признак) равнобедренного треугольника:

«Треугольник равнобедренный тогда и только тогда, когда у него два угла равны».

При этом нужно понимать, что если верна прямая теорема, то совершенно не обязательно верна обратная теорема.

Свойство перпендикулярности диагоналей ромба не работает в обратную сторону как признак.

Утверждение «если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то четырёхугольник — ромб» неверно.

Например, дельтоид (четырёхугольник с равными попарно смежными сторонами) опровергает это утверждение.

Утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями, называется противоположной теоремой.

Таким образом, теоремы  и  являются взаимно противоположными.

Важно! Противоположная теорема не является отрицанием прямой теоремы. Поэтому и прямая, и противоположная теоремы могут быть верны одновременно.

Для теоремы «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны» противоположной будет «если в треугольнике две стороны не равны, то два угла, не лежащие между ними, не равны друг другу».

Обе теоремы верны.

Для теоремы «в ромбе диагонали перпендикулярны» противоположной будет «в четырёхугольнике, не являющемся ромбом, диагонали не перпендикулярны».

При этом прямая теорема верна, а противоположная нет.

Разобраться, когда верны противоположные и обратные теоремы, несложно.

Пусть верна прямая теорема .

Это означает, что множество истинности предиката  включено в множество истинности предиката .

При этом дополнение множества истинности , то есть множество истинности , наоборот, включает в себя множество истинности предиката .

Следовательно, верна теорема .

То есть для верной теоремы всегда верна противоположная обратной.

Если верно, что у всех ромбов диагонали перпендикулярны, то верно и то, что если у четырёхугольника диагонали не перпендикулярны, то он не ромб.

Если сказать коротко, то прямая теорема и противоположная обратной — эквивалентны. Они верны одновременно или неверны одновременно.

Если верны прямая теорема и противоположная теорема,  и  соответственно, то для противоположной верна противоположная обратной, а именно  или просто .

Здесь мы воспользовались довольно очевидным утверждением: отрицание к отрицанию утверждения — это само утверждение («он — не не студент» ⇔ «он — студент»).

Таким образом, верны прямая и обратная теоремы  и .

Но это означает, что верна теорема эквивалентности .

Множества истинности обоих предикатов совпадают.

На схеме сплошные стрелки соответствуют попарной истинности теорем во всех случаях, а пунктирные — в случае, когда  и — эквивалентные предикаты.

Например, в случае равенства углов равнобедренного треугольника будут верны все четыре теоремы.

Доказательство теорем

Рассмотрим, как логические правила используются для доказательства теорем.

Пусть требуется доказать теорему .

Прямое доказательство заключается в том, что мы строим цепочку импликаций с промежуточными предикатами, начинающуюся предикатом  и заканчивающуюся предикатом :

.

Важно! Каждая импликация должна опираться на доказанную ранее теорему, на аксиому или определение.

Например, для доказательства теоремы «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны» мы строим следующую цепочку импликаций предикатов.

«Пусть треугольник АВС — равнобедренный» ⇒ «две стороны равны, например АВ = ВС» ⇒ «в треугольниках АВH и СВH равны две стороны и углы между ними» ⇒ «треугольники равны» ⇒ «углы А и С равны».

Часто доказательство прямой теоремы заменяют на доказательство теоремы, противоположной обратной, которая эквивалентна прямой теореме.

То есть доказывают не теорему , а .

Такое доказательство называется доказательством от противного.

Строится оно по следующей схеме: мы предполагаем истинность предиката  (то самое «предположим противное») и цепочкой последовательных импликаций (прямым доказательством) получаем противоречие предикату , что означает его ложность и истинность предиката .

Таким образом мы доказываем теорему , эквивалентную исходной.

Например, доказательство теоремы «простых чисел бесконечно много» можно заменить на доказательство противоположной обратной теоремы «какой бы конечный набор простых чисел мы ни взяли, будет существовать простое число, которое не принадлежит этому набору».

Рассмотрим ещё один способ доказательства теорем.

Вспомним, что в теореме вида  опущен квантор всеобщности, то есть полная запись выглядит так:

.

Если количество , которые мы рассматриваем, конечно, то можно провести полный перебор. Если импликация окажется истинной в каждом случае, то теорема будет доказана. Такое доказательство называют полной индукцией.

Например, утверждение «на интервале от 200 до 210 нет простых чисел» доказывается полным перебором. Это возможно сделать, так как количество возможных значений переменных конечно и, более того, невелико.

Тем не менее даже в случаях бесконечных множеств индукция возможна. Но это будет не полная, а так называемая математическая индукция.

Она возможна для самых простых бесконечных множеств — счётных.

Простейший пример счётного множества — это множество натуральных чисел. На его примере и разберём метод математической индукции.

Пусть нам нужно доказать теорему .

Абстрактный предикат  мы заменили на конкретный «пусть — натуральное число».

Данное утверждение обычно записывают короче:

— «для любого натурально верно ».

Доказательство строится по следующей схеме:

1. База индукции. Доказываем непосредственной проверкой истинность предиката  для единицы. То есть доказываем, что .

2. Индукционный шаг. Доказываем следующее утверждение:

.

Для любого натурального n из истинности  следует истинность .

Если это удаётся сделать, то теорема доказана для любого натурального .

В самом деле оно верно для единицы. Но если доказан индукционный шаг, то оно верно и для 2, потом для 3 и так далее, оно верно для любого натурального .

Метод математической индукции применяется в задачах, связанных с натуральными или целыми числами, например в задачах на делимость.

Докажем утверждение «при любом натуральном выражение  делится на 6».

1. База индукции. Проверим непосредственно делимость при :

1 + 11 = 12 — делится на 6.

2. Шаг индукции.

Пусть  делится на 6.

Докажем, что  делится на 6.

Раскроем в этом выражении скобки и сгруппируем слагаемые:

.

Слагаемое в первых скобках и последнее слагаемое делятся на 6, осталось доказать делимость выражения во вторых скобках. Рассмотрим его: , и имеют разную чётность, значит, их произведение чётно, то есть  делится на 6.

Мы доказали шаг индукции и таким образом доказали исходную теорему по методу математической индукции.

Последний тип доказательства, который мы рассмотрим, — это доказательство неверности утверждения .

Перепишем его в виде .

И воспользуемся законом отрицания кванторов

.

То есть чтобы доказать неверность общего утверждения, нужно доказать существование контрпримера.

Верно ли утверждение «Любой одновременно вписанный и описанный четырёхугольник — квадрат»?

Данное утверждение может появиться из наблюдений за параллелограммами. И для них оно, в самом деле, верно.

Но на множестве всех четырёхугольников это не так.

Пользуясь логическим правилом отрицания квантора всеобщности , заменим утверждение «неверно, что любой одновременно вписанный и описанный четырёхугольник — квадрат» на «существует одновременно вписанный и описанный четырёхугольник, не являющийся квадратом».

В качестве примера приведём дельтоид с двумя прямыми углами, который удовлетворяет критериям и вписанного, и описанного четырёхугольника. В самом деле, сумма его противоположных углов равна 180° и равны суммы длин противоположных сторон.

Домашнее задание

1. Даны простые высказывания «Пушкин родился в 1799 году» и «я люблю математику». Составьте из них по крайней мере 5 сложных высказываний с использованием изученных логических операций, определите истинность составленных высказываний.

2. Пятый постулат Евклида можно сформулировать так: «Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°». Сформулируйте следующие утверждения: противоположное, обратное и противоположное обратному.

3. Выберите метод доказательства и докажите следующую теорему: 

 .

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа: базовый и углублённый уровни: учеб. для 10–11 кл. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. ― М.: Просвещение, 2017–2019.

2. Алгебра и начала математического анализа: углублённый уровень: учеб. для 10 кл. / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков; под ред. В. Е. Подольского. ― М.: Вентана-Граф; Просвещение, 2019.