Рассмотрим функцию и ее поведение на всей ОДЗ (Рис. 6). Предположим, что это график исследуемой функции.

Рис. 6. График функции

Есть точка . Касательная наклонена под острым углом (Рис. 7). Значит, в точке функция возрастает.

Рис. 7. Угол наклона касательной в точке

В точке касательная параллельна оси , значит точка – точка экстремума. Об этом мы поговорим отдельно.

Рис. 8. – точка экстремума

В точке угол наклона касательной будет тупым, тангенс будет величиной отрицательной, значит, производная отрицательная и функция здесь убывает (Рис. 9).

Рис. 9. Угол наклона касательной в точке

И, наконец, в точке производная равно нулю и дальше функция возрастает (Рис. 10).

Рис. 10. Угол наклона касательной в точке – точке экстремума

Выясняется, что функция возрастает на интервалах, где производная больше нуля:

Если же значение производной отрицательное, то функция убывает:

Вся ОДЗ состоит из отдельных точек, значит, надо выделить те интервалы, на которых производная меньше нуля, на которых производная больше нуля, и они определят те участки ОДЗ, на которых функция либо возрастает, либо убывает. Этот же вывод мы получим, рассматривая соотношение . На тех областях, на которых производная меньше нуля, функция убывает. Соответственно, на тех областях ОДЗ, где производная больше нуля, функция возрастает.

Теперь мы готовы написать, где убывает, а где возрастает (Рис. 11) данная нам функция:

при

Рис. 11. Промежутки возрастания функции

Теперь выясним, где данная функция убывает (Рис. 12):

при

Рис. 12. Промежутки убывания функции

Тонкий момент: включать ли значения в точках ?

не включаем, потому что в них производная равна нулю, а мы рассматриваем тот случай, когда производная меньше нуля. Но функция убывает, когда принадлежит отрезку .

При этом эти точки включены также в интервалы, когда функция возрастает.

Приходим к важному выводу: интервалы знакопостоянства являются интервалами монотонности .

Цель урока: научиться находить промежутки возрастания и убывания функции с помощью производной. Выясняется, что надо найти производную, выделить ее интервалы знакопостоянства и тем самым мы узнаем, где эта функция монотонно убывает и где она монотонно возрастает.

Далее нас интересуют точки экстремумов функции. Мы рассмотрели случаи, когда производная меньше нуля, когда она больше нуля, также важный случай, когда производная равна нулю.

Вспомним, что такое точка максимума и точка минимума функции.

Рис. 13. Точки экстремумов функции

Рассмотрим рисунок (Рис 13). Точка – точка максимума функции (max), если существует окрестность точки , для которой , то есть если значение функции в этой точке больше, чем значение функции в любой точке ее окрестности.

Аналогичное определение для точки минимума. Точка – точка минимума функции (min), если существует окрестность точки , для которой , то есть если значение функции в этой точке меньше, чем значение функции в любой точке ее окрестности.

При поиске наибольшего и наименьшего значения функции на всей ОДЗ, то есть ее глобальных экстремумов, следует понимать, что они могут не совпадать с ее локальными экстремумами, точками, где производная меняет знак.