Тема: Производная
Урок: Уравнение касательной к графику функции
1. Уравнение касательной к графику функции
На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.
Построим кривую 
(см. рис.1).
Рис. 1. График функции 
.
Зафиксируем точку 
. Если , то значение функции равно 
. Значит, имеем точку с координатами (
.
Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции в точке с абсциссой , в которой 
- существует.
Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой 
Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами:
и 
. Исходя из геометрического смысла производной 
(тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент 
.
Параметр найдем из условия, что касательная проходит через точку (
, то есть 
.
.
Стало быть 
.
Запишем уравнение касательной
.
Или, 
.
Получили уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой 
.
2. Смысл элементов уравнения касательной
Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.
1) ( – точка касания касательной и графика функции.
2) - угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) 
– произвольная точка на касательной.
Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что – это произвольная точка на касательной.
Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.
3. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
Задача.
К кривой 
в точке с абсциссой 
провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).
Рис. 2. Касательная к графику функции .
Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:
1) Найти 
и точку касания.
- дано.Точка касания: (;
.
2) Найти производную в любой точке 
.
.
3) Найти значение производной в точке с абсциссой .
.
4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.
.
Упрощаем и получаем: 
.
Ответ: .
4. Сопутствующие задачи
Задача 1.
Пусть дано уравнение касательной .
Найдите точки пересечения касательной с осями координат.
Если 
, то 
. 
– это первая точка.
Если 
, то 
. 
- вторая точка.
Итак, первая точка – это точка 
с координатами . Вторая точка – точка пересечения с осью , точка 
с координатами (см. рис.3).
Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции с осями координат. Задача 2.
Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка 
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
(Рис. 3). Длина катета 
равна 1. Длина катета 
. Длину отрезка из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:
Задача 3.
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника (Рис. 3) - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Следующая задача для самостоятельного решения.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .
5. Касательная к графику тригонометрической функции
Рассмотрим пример.
Дана функция 
. Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.
Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).
Рис. 4. Касательная к графику функции .
Нахождение точки касания.
1. 
Точка касания имеет координаты 
.
2. Найти 
.
3. Найти 
И, последнее действие, – написать уравнение касательной.
4. 
.
Упростим и получим 
.
Заметим в точке синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки синусоида и прямая почти не различаются.
6. Итог урока
Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
Дополнительные веб-ресурсы
1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).
Сделай дома
№ 43.22, 43.25 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)
