09. Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции

На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.

 Построим кривую (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Зафиксируем точку. Если , то значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами .

Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции в точке с абсциссой, в которой - существует.

Уравнение касательной – это прямая,  которая задается формулой

Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами:и. Исходя из геометрического смысла производной (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент .

Параметр найдем из условия, что касательная проходит через точку, то есть  . 

.

Стало быть.

Запишем уравнение касательной.

Или,.

Получили уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Смысл элементов уравнения касательной

Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

1)– точка касания касательной и графика функции.

2) - угловой коэффициент касательной к графику функции.

3) – произвольная точка на касательной.

Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что – это произвольная точка на касательной.

Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

Задача.

К кривой в точке с абсциссойпровести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).

Рис. 2. Касательная к графику функции

Зафиксируем точку. Значение функции в этой точке  равно 1.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:

1)  Найтии точку касания. - дано.Точка касания: ;.

2) Найти производную в любой точке ..

3) Найти значение производной в точке с абсциссой..

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной..

Упрощаем и получаем:  .

Ответ: .

Сопутствующие задачи

Задача 1.

Пусть дано уравнение касательной .

Найдите точки пересечения касательной с осями координат.

Если , то.– это первая точка.

Если, то.- вторая точка.

Итак, первая точка – это точкас координатами . Вторая точка – точка пересечения с осью, точкас координатами (см. рис.3).

Рис. 3. Точки пересечения касательной к графику функциис осями координат.

Задача 2.

Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка.

Рассмотрим прямоугольный треугольник(Рис. 3). Длина катетаравна 1. Длина катета. Длину отрезка из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:

Задача 3.

Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника (Рис. 3) - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Следующая задача для самостоятельного решения.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник. Радиус окружности, описанной около треугольника.

Касательная к графику тригонометрической функции

Рассмотрим пример.

Дана функция. Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.

Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).

Рис. 4. Касательная к  графику функции.

Нахождение точки касания.

1. 

Точка касания имеет координаты .

2. Найти .

3. Найти

И, последнее действие, – написать уравнение касательной.

4..

 Упростим и получим.

Заметим в точкесинусоида и касательная соприкасаются. В районе точкисинусоида и прямая почти не различаются.

Итог урока

Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎mathematics.ru» (Источник).

Сделай дома

№ 43.22, 43.25 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)