Числовая окружность

Тема: Тригонометрические функции

Урок: Числовая окружность

1. Тема урока, введение

Для  любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность.

2. Числовая прямая

Прямая становится числовой (координатной) прямой, если отмечено начало координат, выбраны направление и масштаб (рис. 1).

Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.

Например, берем число  откладываем на координатной оси, получаем точку  Возьмем число  откладываем на оси, получаем точку  (рис. 2).

И наоборот, если мы взяли любую точку  на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).

К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.

3. Числовые множества

Сначала ввели множество натуральных чисел

Затем множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида

Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна  (рис. 3).

Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное  Нет, не найдется. Докажем этот факт.

Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.

Тогда  Возведем обе части в квадрат,   Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и  Тогда  Но тогда и  А значит,  Тогда получается, что дробь  сократимая. Это противоречит условию, значит

Число  иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел  Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.

4. Числовая окружность

Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.

Начало отсчета – точка A. Направление отсчета – против часовой стрелки – положительное, по часовой стрелке – отрицательное.  Масштаб – длина окружности  (рис. 4).

Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность. Укажем, каким образом каждому числу  поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.

Задав число  получаем точку на окружности  

 (рис. 4).

Каждому действительному числу соответствует точка на окружности. А наоборот?

Точка  соответствует числу . А если взять числа  Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку

Например,  соответствует точке B (рис. 4).

Возьмем все числа  Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.

Если есть фиксированное число  то ему соответствует только одна точка окружности

Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел

В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.

5. Основные точки окружности

Рассмотрим основные точки на окружности.

Задано число  Найти, какой точке на окружности оно соответствует.

Разделив дугу  пополам, получаем точку  (рис. 5).

Обратная задача – дана точка  середина дуги  Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.

Отметим на числовой окружности все дуги, кратные  (рис. 6).

Важны также дуги, кратные

Дано число  Нужно найти соответствующую точку.

Обратная задача – дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.

 (рис. 7). 

Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.

6. Задачи

Пример 1.

a) Найти на числовой окружности точку с координатой

Решение:

Откладываем от точки Aэто два целых оборота и еще половина, и  Получаем точку M – это середина третьей четверти (рис. 8).

Ответ. Точка M – середина третьей четверти.

b) Найти на числовой окружности точку с координатой

Решение:

Откладываем от точки A полный оборот и еще  получаем точку N (рис. 9).

Ответ: Точка N находится в первой четверти.

7. Вывод, заключение

Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.

На следующем уроке мы рассмотрим числовую окружность в координатной плоскости.

 

Список литературы по теме "Числовая окружность", "Точка на окружности"

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 11.6 – 11.12, 11.15 – 11.17.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник). 

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник). 

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).