Сначала ввели множество натуральных чисел

Затем множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида

Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна (рис. 3).

Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.

Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.

Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит

Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.