Определим, какие остатки дают квадраты натуральных чисел при делении на пять.

Натуральное число при делении на 5 может дать остатки 0, 1, 2, 3 или 4.

Число будет давать такие же остатки, но возведенные в квадрат. Так, остаток 0 превратится в остаток . Остаток превратится в остаток . Остаток превратится в остаток , остаток превратится в остаток , но такого остатка при делении на 5 быть не может, число при делении на даст остаток , остаток превратится в остаток , но такого остатка при делении на 5 быть не может, число при делении на даст остаток . Таким образом, мы видим, что квадраты натуральных чисел дают только остатки 0, 1 и 4 при делении на 5.

Пример 1: решить уравнение в целых числах:

Здесь х и у целые числа ()

Разберем несколько случаев.

1. Пусть , в этом случае левая часть, очевидно, не целое число. Мы тройку возводим в отрицательную степень, получаем число меньше единицы и прибавляем к целому числу. А правая часть – число целое, т. к. квадрат целого числа – целое число. Значит, равенства быть не может.

2. Пусть . В этом случае х является натуральным числом. Потому что натуральные числа – это целые положительные числа. Тогда или . В то же время , тогда . Так, левая часть при делении на три дает остаток . Следовательно, и правая часть должна давать остаток 2 при делении на 3, но мы только что выяснили, что квадраты остатка 2 при делении на 3 не дают. Очевидно, что в этом случае равенство тоже невозможно.

3.

Ответ: (0;3) или (0; -3)

Пример 2: решить уравнение в натуральных числах:

Натуральные числа – это целые положительные числа. Факториал () – это произведение всех чисел от 1 до данного числа.

Попробуем и здесь применить остатки от деления на три.

Правая часть дает либо остаток 0, либо остаток 1.

Рассмотрим левую часть:

1. Если , то , так как будет произведением чисел, содержащим тройку. Тогда . Правая часть остатка два дать не может, поэтому равенство невозможно.

2. . В этом случае , тогда имеем , , , но ноль не является натуральным числом, данный случай нас тоже не устраивает.

3. , В этом случае , тогда имеем , , . Минус единица не является натуральным числом, имеем единственный ответ.

Ответ: ; .

Пример 3: решить уравнение:

Прежде всего попробуем применить признак деления на 3: при делении на 3 дает остатки 0 и 1; но может давать любой остаток. Поэтому здесь признак делимости на 3 нам абсолютно не поможет.

Попробуем рассмотреть делимость на : при делении на 4 дает остатки 0 и 1; даст остаток ноль, так как содержит множитель ; при делении на 4 дает остатки 0 и 1

Тогда вся левая часть может при делении на дать остатки .

Когда мы складываем эти три числа, второе слагаемое ни на что не влияет – это 0. А сумма первого и третьего может быть нулем, когда это два нуля, единицей, когда в одном случае это 0, в другом 1, либо двойкой, когда это две единицы.

Определим остаток при делении правой части на .

Есть признак, который говорит, что, чтобы найти остаток от деления числа на 4, достаточно рассмотреть число, состоящее из его двух последних цифр. В данном случае 11. Можно разделить число в столбик на . Так или иначе, мы получаем, что остаток от деления правой части на равен трем, то есть заданное равенство невозможно ни при каких целых х и у.

Ответ: нет решений.

Комментарий: чтобы догадаться, что здесь нужно рассматривать именно остатки от деления на 4, нужно заметить выражение 4ху, которое очевидно при делении на 4 дает остаток 0. При делении, скажем, на 3 или 5 остатки могут быть принципиально разными. Кроме того, подсказка – это квадраты. Квадраты, как мы знаем, очень своеобразно себя ведут при делении на 3 и 4.