Уравнения в целых числах. Решение задач С6

Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам

Урок: Уравнения в целых числах. Решение задач С6

1. Понятие деления с остатком, некоторые определения и свойства

В чем заключается метод остатков? На самом деле здесь очень легко найти аналогию в жизни. Предположим, что вы выбираете в магазине обои в свою квартиру. По каким признакам вы будете их выбирать? Допустим, в своем выборе вы будете основываться на таких признаках, как цвет, качество, страна-производитель и т. д. И тогда, если вы видите, что обои не удовлетворяют тому цвету, который вы уже запланировали, вы такие обои точно не купите. Примерно та же ситуация и с остатками: если вы видите, что части данного вам уравнения не удовлетворяют равенству остатков при делении на какое-то число, например, остаток от деления на 3 в левой части не совпадает с остатком от деления на 3 в правой части, то такое равенство невозможно.

Напомним определение деления с остатком.

Пусть задано целое число а, нужно его разделить с остатком на число b, тогда запись деления с остатком выглядит так:

, где q – неполное частное, а r – остаток. Причем остаток изменяется от нуля до частного, уменьшенного на единицу, включительно: .

Справедлива другая запись:

Это значит, что  дает остаток  при делении на .  

Определение:

Если числа дают одинаковые остатки при делении на , они называются сравнимыми по модулю , записывается данный факт следующим образом:

Свойства сравнимостей и остатков:

Если  и , то  и

Данное свойство говорит о том, что сравнения по одинаковому модулю можно складывать и вычитать. Точно так же их можно перемножать и возводить в степень:

 и

От выполнения вышеперечисленных манипуляций сравнимость не исчезает.

2.  Строгое доказательство свойств сравнимости

Строгое доказательство первого свойства сравнимостей.

Дано:  и

Доказать:

Доказательство: если числа сравнимы, то их разность кратна b, так как их остатки от деления на b одинаковы и при вычитании уничтожатся. То есть,  и . Докажем, что . Раскроем скобки и составим их несколько иначе:

Первая скобка кратна b в силу сравнимости уменьшаемого и вычитаемого, аналогично вторая скобка кратна b. Сумма двух выражений, кратных числу, кратна этому же числу, что и требовалось доказать.

Свойство  доказывается аналогично.

Дано:  и

Доказать:

Доказательство: докажем, что , тогда выражения, очевидно, будут сравнимы. Преобразуем, вычтем и добавим одинаковое выражение:

Теперь сгруппируем первые два члена между собой и вторые два члена между собой:

В произведении  есть множитель, кратный b, – это скобка  (в силу сравнимости уменьшаемого и вычитаемого из условия), аналогично во втором произведении  есть множитель, кратный b, так, оба произведения кратны b, значит, их сумма кратна b, что и требовалось доказать.

Зная доказательство свойства про умножение, легко доказать свойство о степени, так как  – это , умноженное на себя n раз.

3.  Делимость квадратов натуральных чисел на три и четыре

Докажем очень важное свойство, что квадраты натуральных чисел дают при делении на 3 или на 4 только остатки 0 и 1.

Рассмотрим для начала делимость на 3. Натуральное число  при делении на 3 может дать остатки 0, 1 или 2.

Число  будет давать такие же остатки, но возведенные в квадрат. Так, остаток 0 превратится в остаток . Остаток  превратится в остаток . Остаток  превратится в остаток , но такого остатка при делении на три быть не может, число  при делении на три даст остаток . Таким образом, мы видим, что квадраты натуральных чисел дают только остатки 0 и 1 при делении на 3.

 Аналогично дело обстоит и с делимостью на 4.

4. Делимость квадратов натуральных чисел на четыре

Рассмотрим делимость на 4. Натуральное число  при делении на 4 может дать остатки 0, 1, 2 или 3.

Число  будет давать такие же остатки, но возведенные в квадрат. Так, остаток 0 превратится в остаток . Остаток  превратится в остаток . Остаток  превратится в остаток , но такого остатка при делении на 4 быть не может, число  при делении на  даст остаток . Остаток  превратится в остаток , но такого остатка при делении на 4 быть не может, число  при делении на  даст остаток . Таким образом, мы видим, что квадраты натуральных чисел дают только остатки 0 и 1 при делении на 4.

При выводе этих свойств мы пользовались тем, что остаток произведения совпадает с произведением остатков.

5. Примеры решения уравнений в целых и натуральных числах

Определим, какие остатки дают квадраты натуральных чисел при делении на пять.

Натуральное число  при делении на 5 может дать остатки 0, 1, 2, 3 или 4.

Число  будет давать такие же остатки, но возведенные в квадрат. Так, остаток 0 превратится в остаток . Остаток  превратится в остаток . Остаток  превратится в остаток , остаток  превратится в остаток , но такого остатка при делении на 5 быть не может, число  при делении на  даст остаток , остаток  превратится в остаток , но такого остатка при делении на 5 быть не может, число  при делении на  даст остаток . Таким образом, мы видим, что квадраты натуральных чисел дают только остатки 0, 1 и 4 при делении на 5.

Пример 1: решить уравнение в целых числах:

Здесь х и у целые числа ()

Разберем несколько случаев.

1. Пусть , в этом случае левая часть, очевидно, не целое число. Мы тройку возводим в отрицательную степень, получаем число меньше единицы и прибавляем к целому числу. А правая часть – число целое, т. к. квадрат целого числа – целое число. Значит, равенства быть не может.

2. Пусть . В этом случае х является натуральным числом. Потому что натуральные числа – это целые положительные числа. Тогда  или . В то же время , тогда . Так, левая часть при делении на три дает остаток . Следовательно, и правая часть должна давать остаток 2 при делении на 3, но мы только что выяснили, что квадраты остатка 2 при делении на 3 не дают. Очевидно, что в этом случае равенство тоже невозможно.

3.

Ответ: (0;3) или (0; -3)   

Пример 2: решить уравнение в натуральных числах:

 

Натуральные числа – это целые положительные числа. Факториал () – это произведение всех чисел от 1 до данного числа.

Попробуем и здесь применить остатки от деления на три.

Правая часть дает либо остаток 0, либо остаток 1.

Рассмотрим левую часть:

1. Если , то , так как  будет произведением чисел, содержащим тройку. Тогда . Правая часть остатка два дать не может, поэтому равенство невозможно.

2.  . В этом случае , тогда имеем , , , но ноль не является натуральным числом, данный случай нас тоже не устраивает.

3.  , В этом случае , тогда имеем , , . Минус единица не является натуральным числом, имеем единственный ответ.

Ответ: ; .

Пример 3: решить уравнение:

 

Прежде всего попробуем применить признак деления на 3:  при делении на 3 дает остатки 0 и 1; но  может давать любой остаток. Поэтому здесь признак делимости на 3 нам абсолютно не поможет.

Попробуем рассмотреть делимость на :  при делении на 4 дает остатки 0 и 1;  даст остаток ноль, так как содержит множитель ;  при делении на 4 дает остатки 0 и 1

Тогда вся левая часть может при делении на  дать остатки .

Когда мы складываем эти три числа, второе слагаемое ни на что не влияет – это 0. А сумма первого и третьего может быть нулем, когда это два нуля, единицей, когда в одном случае это 0, в другом 1, либо двойкой, когда это две единицы.

Определим остаток при делении правой части на .

 Есть признак, который говорит, что, чтобы найти остаток от деления числа на 4, достаточно рассмотреть число, состоящее из его двух последних цифр. В данном случае 11. Можно разделить число  в столбик на . Так или иначе, мы получаем, что остаток от деления правой части на  равен трем, то есть заданное равенство невозможно ни при каких целых х и у.

Ответ: нет решений.

Комментарий: чтобы догадаться, что здесь нужно рассматривать именно остатки от деления на 4, нужно заметить выражение 4ху, которое очевидно при делении на 4 дает остаток 0. При делении, скажем, на 3 или 5 остатки могут быть принципиально разными. Кроме того, подсказка – это квадраты. Квадраты, как мы знаем, очень своеобразно себя ведут при делении на 3 и 4.

 

6. Дополнительный пример – уравнение в натуральных числах

Дополнительный пример: решить уравнение в натуральных числах:

 

1. Рассмотрим остатки от деления левой части на три:  даст ноль при любом ;  дает только единицу, так как  при делении на  дает остаток , согласно свойству ; рассмотрим остатки при делении  на три. При  остаток  (); при  остаток  (); при  остаток  (, причем можно сказать, что эта двойка получена путем умножения предыдущих двух остатков); при  остаток  (). несложно заметить, что остатки чередуются и могут быть либо двойкой, либо единицей, причем остаток  получается в четных степенях, остаток  – в нечетных степенях. Правая же часть при делении на три дает только остатки ноль и один. В левой части стоит сумма. Одно слагаемое всегда дает остаток ноль, второе – единицу, третье – единицу или двойку, поэтому сумма дает остатки два или три, остатка три быть не может, он превращается в остаток ноль. Правая часть дает остатки ноль и один. Есть совпадение – остаток ноль. Оно достигается при нечетных значениях .

2. Рассмотрим остатки от деления на :  дает остаток ноль;  дает остаток  при  () и остаток  при  ( в таких случаях будет содержать множитель ); рассмотрим подробно слагаемое . При  остаток  (); при  остаток  (); при  остаток  (; при  остаток  (). несложно заметить, что остатки чередуются и могут быть либо тройкой, либо единицей, причем остаток  получается в четных степенях, остаток  – в нечетных степенях. Правая часть по-прежнему дает остатки ноль и один. Из первого этапа мы знаем, что  – нечетное число, поэтому  будет давать только остаток три. Имеем: в левой части одно из слагаемых постоянно дает остаток ноль, второе – остаток три, их сумма будет давать только остаток три. При этом, когда , третье слагаемое будет давать остаток два, тогда сумма будет давать остаток пять, то есть остаток один при делении на четыре. В остальных же случаях третье слугаемое будет давать остаток ноль и сумма будет давать остаток три, тогда как правая часть такого остатка давать не может. Так, имеем единственный ответ: ,  не является натуральным числом, поэтому ответ:

Итак, мы познакомились с методом остатков при решении задач на целые числа.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Diofant.na.by (Источник).
2. Математика для школы (Источник).
3. Diductio- открытый университет (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить уравнение в целых числах:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;