Начнем с повторения основных типов заданий, которые мы рассмотрели в теме «Тригонометрия» и решим несколько нестандартных задач.

Задача №1. Выполнить перевод углов в радианы и градусы: а) ; б) .

а) Воспользуемся формулой перевода градусов в радианы

Подставим в нее указанное значение .

б) Применим формулу перевода радиан в градусы

Выполним подстановку .

Ответ. а) ; б) .

Задача №2. Вычислить: а) ; б) .

а) Поскольку угол далеко выходит за рамки табличного, уменьшим его с помощью вычитания периода синуса. Т.к. угол указан в радианах, то и период будем рассматривать как .

б) В данном случае ситуация аналогичная. Поскольку угол указан в градусах, то и период тангенса будем рассматривать как .

Полученный угол хоть и меньше периода, но больше , а это значит, что он относится уже не к основной, а к расширенной части таблицы. Чтобы не тренировать лишний раз свою память запоминанием расширенной таблицы значений тригофункций, вычтем период тангенса еще раз:

.

Воспользовались нечетностью функции тангенс.

Ответ. а) 1; б) .

Задача №3. Вычислить , если .

Приведем все выражение к тангенсам, разделив числитель и знаменатель дроби на . При этом, можем не бояться, что , т.к. в таком случае значения тангенса не существовало бы.

Ответ. 2.

Задача №4. Упростить выражение .

Указанные выражения преобразовываются с помощью формул приведения. Просто они непривычно записаны с использованием градусов. Первое выражение вообще представляет собой число. Упростим все тригофункции по очереди:

Т.к. , то функция меняется на кофункцию, т.е. на котангенс, и угол попадает во вторую четверть, в которой у исходного тангенса знак отрицательный.

По тем же причинам, что и предыдущем выражении, функция меняется на кофункцию, т.е. на котангенс, а угол попадает в первую четверть, в которой у исходного тангенса знак положительный.

Подставим все в упрощаемое выражение:

.

Ответ. 1.

Задача №5. Упростить выражение .

Распишем тангенс двойного угла по соответствующей формуле и упростим выражение:

Последнее тождество является одной из формул универсальной замены для косинуса.

Ответ..

Задача №6. Вычислить .

Главное, это не сделать стандартной ошибки и не дать ответ, что выражение равно . Воспользоваться основным свойством арктангенса нельзя пока возле него присутствует множитель в виде двойки. Чтобы от него избавиться распишем выражение по формуле тангенса двойного угла , при этом относимся к , как к обыкновенному аргументу.

Теперь уже можно применять основное свойство арктангенса, вспомним, что на его численный результат ограничений нет.

.

Ответ..

Задача №7. Решить уравнение .

При решении дробного уравнения, которое приравнивается к нулю, всегда указывается, что числитель равен нулю, а знаменатель нет, т.к. на ноль делить нельзя.

Первое уравнение представляет собой частный случай простейшего уравнения, которое решается с помощью тригонометрической окружности. Вспомните самостоятельно этот способ решения. Второе неравенство решается как простейшее уравнение по общей формуле корней тангенса, но только с записью знака неравно.

Как видим, одно семейство корней исключает другое точно такое же по виду семейство не удовлетворяющих уравнению корней. Т.е. корней нет.

Ответ. Корней нет.

Задача №8. Решить уравнение .

Сразу заметим, что можно вынести общий множитель и проделаем это:

Уравнение свелось к одной из стандартных форм, когда произведение нескольких множителей равно нулю. Мы уже знаем, что в таком случае или один из них равен нулю или другой, или третий. Запишем это в виде совокупности уравнений:

Первые два уравнения являются частными случаями простейших, с подобными уравнениями мы уже многократно встречались, поэтому сразу укажем их решения. Третье уравнение приведем к одной функции с помощью формулы синуса двойного угла.

Решим отдельно последнее уравнение:

Данное уравнение не имеет корней, т.к. значение синуса не могут выходить за пределы .

Таким образом, решением является только два первых семейства корней, их можно объединить в одно, что легко показать на тригонометрической окружности:

Это семейство всех половин , т.е.

Ответ..