02. Применение производной. Исследование функций. Базовый уровень

Производная функции в точке. Физический смысл производной

В инструкциях к лекарственным препаратам всегда указывается два важных пункта: показания к применению и противопоказания. Эти два пункта — для чего применять и какие есть ограничения — важны не только в медицине. Мы знаем, что молоток нужен, чтобы забивать гвозди; часы — чтобы определять время; компас — чтобы найти север. Об ограничениях мы тоже знаем, но не всегда задумываемся. Часы со стрелками, например, не помогут в полярную ночь или на подводной лодке — нельзя будет выяснить, сейчас 2 часа ночи или дня. А компас не укажет верного направления, если рядом есть магниты, железные или стальные материалы.

Любая теоретическая модель, которую мы используем для описания того или иного явления, тоже решает определённый ряд задач и имеет ограничения в применении. Так, в физике модель материальной точки можно применять при решении широкого спектра задач, в которых размерами тела можно пренебречь по сравнению с расстояниями, на которые оно перемещается (урок «Материальная точка. Система отсчёта»).

Но есть и ограничения: если существенную роль в движении тела играет вращение, то эту модель мы использовать уже не можем.

Мы познакомились с новым математическим инструментом: производной функции. Сегодня на уроке мы узнаем, для решения каких задач можно применить производную и какие есть ограничения в её использовании.

Если у человека температура тела 38 градусов, то можно сделать вывод о том, что он болен. Но этой информации недостаточно, чтобы говорить о тенденции. Так, если несколько часов назад температура была 36,6 градусов, то состояние человека ухудшается; если же она была 40 градусов, то, наоборот, состояние улучшилось. Часто нам нужно знать не только значение функции в некоторой точке, но и её поведение в соседних точках, или, по-другому, в некоторой области вокруг этой точки. Для этого и пригодится производная функции.

Вспомним, что такое производная функции в точке — это скорость изменения функции  в точке , вычисляется она как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к 0 (урок «Производная функции. Базовый уровень»):

.

Те процессы, которые мы обычно наблюдаем и исследуем, описываются функциями, для которых производная вычисляется в любой или почти в любой точке. О том, почему почти в любой, поговорим в конце урока. Мы определили понятие производной функции, используя понятие производной функции в точке. А вот для практического применения удобнее поступить наоборот:

• сначала, зная функцию , используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции ;

• затем найти значение производной в заданной точке , просто подставив вместо аргумента нужное значение .

При этом не путайте: производная функции — это функция. Принято обозначать как : множеству значений ставим в соответствие множество значений производной.

Производная функции в точке — это число. Принято обозначать как : конкретному числу  ставим в соответствие значение производной.

Задание 1.

Найти производную функции  в точке .

Решение:

Сначала находим производную функции. По правилам дифференцирования, производная суммы — это сумма производных:

Отдельно ищем производные от  и от . Множитель 2 оставляем, по таблице ищем производную от — это . Переходим к синусу. Производная от синуса — косинус с тем же аргументом. При этом аргумент имеет вид , поэтому нужно ещё умножить на .

Таким образом,

Упрощаем, получаем:

Теперь находим производную в заданной точке . Для этого просто подставляем вместо x значение 1:

Ответ: .

Теперь перейдём к применению производной. Начнём с применения в физике. Производная — это скорость изменения функции. Если в качестве функции взять зависимость координаты тела от времени, то её производная — это скорость изменения координаты тела. А это не что иное, как мгновенная скорость тела. Этот факт ещё называют физическим смыслом производной: мгновенная скорость тела — это производная от функции координаты тела от времени.

Если задана зависимость координаты тела от времени , то производная этой функции  — это скорость движения тела вдоль оси : .

Также может быть задана функция перемещения тела вдоль некоторой оси  или функция зависимости пути, пройденного телом, от времени . Производные от этих функций также будут скоростью движения тела:

Задание 2.

Уравнение движения тела имеет следующий вид: , где координата задана в метрах, а время — в секундах. Найдите скорость тела через 1 секунду после начала движения.

Решение:

Задана зависимость координаты тела от времени. Производная этой функции — это скорость движения вдоль оси :

Ищем производную: .

Упрощаем: . То есть мы нашли скорость вдоль оси –. Нужно найти скорость через 1 секунду, т. е. подставляем вместо :

Вспомним, что отрицательная скорость означает, что тело движется противоположно направлению оси. Кроме численного значения, не забудем про единицы измерения: координата в метрах, время в секундах, значит, скорость будет в метрах в секунду.

Ответ: через 1 секунду после начала движения тело будет двигаться со скоростью 3 м/с противоположно направлению оси .

С решением ещё одной задачи, связанной с физическим смыслом производной, вы можете ознакомиться в ответвлении.

Решение обратной задачи на физический смысл производной

Задание.

Зависимость пройденного телом пути (в метрах) от времени (в секундах) задана функцией:

Определите момент времени , в который скорость тела равна .

Решение:

Нам задана зависимость пути от времени. Вычислив производную этой функции, мы получим зависимость скорости тела от времени.

Надо найти время, когда скорость тела равна 6 м/с. То есть такое , при котором . Подставляем значение 6 вместо скорости:

Осталось решить квадратное уравнение и найти . Перенеся всё в одну сторону, получим:

Получили два значения. Но время отрицательным быть не может. Остается только .

Ответ:  секунды.

Задача нахождения скорости тела — это лишь одно из применений производной в физике. Есть ещё очень большой спектр физических, экономических и статистических моделей, в которых применяется производная. Изменение температуры в комнате, переменный ток, колебания доходности предприятия — в этих и многих других процессах происходит изменение величин со временем, а значит, понадобится производная для их математического описания. Подробнее c некоторыми из подобных задач ученики профильного уровня познакомятся в следующих уроках.

Геометрический смысл производной

Ещё один большой спектр задач, для решения которых удобно использовать инструмент «производная», связан с исследованием функций и их графиков. Производная — это скорость изменения функции в точке. Но как можно представить себе это изменение в точке? Давайте разбираться.

Для начала попробуем изобразить скорость изменения функции на промежутке. Рассмотрим на примере функции  (см. рис. 1).

На промежутке от 0 до 1 аргумент изменился на , значение функции изменилось на . Таким образом, на этом промежутке скорость изменения функции: .

На промежутке от 1 до 2 аргумент изменился на , значение функции изменилось на . На этом промежутке скорость изменения функции составит: .

То есть скорость изменения функции на промежутке от 1 до 2 больше, чем на промежутке от 0 до 1. Это можно было сказать и без вычислений: если соединить точки (см. рис. 2), то видно, что второй отрезок расположен более круто, чем первый. При одинаковом изменении аргумента функция сильнее изменяется на этом промежутке.

Таким образом, скорость изменения функции на промежутке нам удалось изобразить с помощью отрезка. Чем больше его наклон, тем больше скорость изменения. Но как быть, если нужна скорость в точке? Точка одна, такие же отрезки мы там не построим, не вычислим (см. рис. 3):

Чтобы разобраться с этим, рассмотрим более простую функцию — линейную: . У линейной функции скорость изменения постоянна для любого промежутка и равна (см. рис. 4):

С доказательством этого утверждения вы можете ознакомиться в ответвлении.

Доказательство

Возьмём две любые точки на графике: и (см. рис. 1). Поскольку они принадлежат графику функции , то можем подставить их координаты:

Скорость изменения функции:

Упростим выражение с учётом записанных выше соотношений:

Ответ не зависит от выбора точек. Таким образом, для любого промежутка скорость изменения линейной функции  равна .

Раз это верно для любого промежутка, значит, верно и для бесконечно малого промежутка. А скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке — это и есть производная функции в точке (см. рис. 5).

Таким образом, мы увидели, что производная от линейной функции в любой точке равна . Конечно, это можно было найти, просто используя таблицу производных. Но важно, что мы смогли это получить, используя график функции.

Вернёмся к функции . С ней не получится поступить аналогичным образом, поскольку, как мы ранее убедились, скорость изменения будет различной для разных промежутков. Поступим по-другому. Рассматривая скорость изменения функции на промежутке, изобразим не отрезок, а целую прямую (см. рис. 6).

Её называют секущей, по аналогии с прямой, которая пересекает окружность (см. рис. 7).

Скорость изменения функции на промежутке будет такой же, как и на всей прямой. Так что мы спокойно можем заменить отрезок на секущую. Принцип останется тот же: чем больше наклон секущей, тем больше скорость изменения на этом промежутке.

Теперь будем уменьшать промежуток, пока он не превратится в точку. Наклон отрезка мы уже не можем рассматривать, он превратился в точку.

Зато по-прежнему можем видеть наклон прямой. Только эта прямая будет уже не секущей, а касательной, по аналогии с касательной к окружности (см. рис. 8).

Таким образом, наклон касательной к графику функции определяет скорость изменения функции в данной точке, то есть производную функции. Общий вид уравнения касательной — , производная в каждой точке равна . Значит, и производная квадратичной функции равна . Это утверждение называют геометрическим смыслом производной.

Конечно же, оно верно не только для квадратичной функции, но и для любой другой. Сформулируем строго это утверждение:

Если уравнение касательной к графику функции в данной точке имеет вид , то производная функции в этой точке равна . Верно и обратное утверждение.

О случаях, когда уравнение касательной нельзя записать в виде , мы поговорим в конце урока.

При этом коэффициент  в уравнении  равен тангенсу угла наклона этой прямой относительно положительного направления оси x (см. рис. 9).

Поэтому геометрический смысл производной формулируют и в другом виде: производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

С доказательством этого утверждения вы можете ознакомиться в ответвлении.

Тангенс угла наклона касательной

Докажем, что производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Мы уже показали, что производная функции в точке равна коэффициенту k в уравнении касательной . Если мы сможем доказать, что этот коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной, то мы докажем исходное утверждение.

Итак, рассмотрим график линейной функции . Отметим на нём две точки: точку пересечения с осью  и произвольную точку справа от неё . Также отметим точку  так, чтобы образовался прямоугольный треугольник (см. рис. 1).

Поскольку точки и принадлежат графику функции, мы можем подставить их координаты в уравнение прямой:

Выразим  из этих уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое:

Тогда:

С другой стороны, из прямоугольного треугольника:

Тогда:

Получаем, что , что и требовалось доказать.

Если же линейная функция будет убывающей (см. рис. 2), то идея доказательства будет похожей. Отличие только в том, что (т. к. — отрицательная величина).

Тогда аналогично:

Из прямоугольного треугольника:

Поскольку , то по формулам приведения:

Итак, мы показали, что в любом случае коэффициент  в уравнении касательной равен  тангенсу угла её наклона относительно положительного направления оси . Тогда справедливо утверждение, что производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Рассмотрим несколько задач на применение геометрического смысла производной.

Задание 3.

Найдите угол наклона касательной к графику функции  в точке .

Решение:

Для начала найдем тангенс угла наклона касательной. По геометрическому смыслу производной это будет производная функция в заданной точке.

Ищем производную:

Считаем производную в заданной точке:

Таким образом,

Тогда .

Ответ: .

Задание 4.

На графике функции  найдите точку, в которой касательная параллельна прямой .

Решение:

У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. У заданной прямой этот коэффициент , значит, и у касательной этот коэффициент также равен . По геометрическому смыслу производной, этот коэффициент будет равен производной функции  в точке касания.

Таким образом, нужно найти такую точку касания, в которой производная от функции равна .

Ищем производную:

В некоторой точке эта производная должна быть равна :

Ответ: в точке  касательная к графику  параллельна прямой .

Задание 5.

Запишите уравнение касательной к графику функции  в точке .

Решение:

Общий вид уравнения касательной: . Из геометрического смысла производной можем найти коэффициент .

Производная функции:

В заданной точке:

Осталось найти коэффициент . Точка касания принадлежит как графику функции, так и касательной. Найдем её координаты: . Т. е. координаты: .

Подставляем координаты в уравнения касательной: .

Учтём также, что :

Получаем уравнение касательной: .

В общем случае уравнение касательной к функции в точке  можно записать в виде:

С выводом этого уравнения вы можете ознакомиться в ответвлении.

Вывод уравнения касательной

Проведём те же рассуждения, что и в задании 5, но в общем виде. Пусть задана функция  и необходимо записать уравнение касательной к графику этой функции в точке  (см. рис. 1).

Общий вид уравнения касательной: . Из геометрического смысла производной мы знаем, что . Получаем: . Точка касания с координатами  принадлежит касательной, можем подставить её координаты в уравнение:

Тогда:

Получаем уравнение касательной:

Или, упростив:

Применение производной для исследования функций

Теперь, когда мы знаем геометрический смысл производной, а именно: производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке к положительному направлению оси , приступим к исследованию функций.

Когда мы вводили понятие «скорость изменения функции», мы говорили, что положительная скорость обозначает увеличение значений функции, отрицательная — уменьшение. Соответственно, положительная производная в точке говорит нам о том, что в некоторой области вокруг этой точки функция возрастает, отрицательная — о том, что функция убывает. Или, по-другому, положительная производная — это положительный угловой коэффициент касательной, функция возрастает; отрицательная производная — это отрицательный угловой коэффициент, функция убывает.

Что происходит, если производная равна нулю?

Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными точками.

В этих точках угловой коэффициент касательной , она параллельна оси абсцисс. Посмотрим, что это может означать для графика функции:

1 случай. Функция может возрастать, затем убывать (см. рис. 11).

В верхней точке производная будет равна 0. Например: тело летит вверх, координата увеличивается; затем летит вниз — координата уменьшается. А в верхней точке производная от координаты, то есть скорость, равна нулю.

2 случай. Функция сначала возрастает, затем как бы останавливает свой рост, и затем снова возрастает (см. рис. 12).

В этом случае производная в указанной точке также будет равна 0. Это можно представить как движение автомобиля: он тормозит, плавно снижая скорость до нуля, и затем сразу начинает набирать скорость.

Возможны и обратные случаи.

3 случай, аналогичный первому: функция сначала убывает, затем возрастает. В нижней точке производная — ноль.

4 случай аналогичен второму, но функция убывает.

Мы посмотрели 4 случая, для которых производная функции в точке равна 0. Случаи 2 и 4 иногда возникают при решении прикладных задач, но в школьном курсе они не рассматриваются. Примером такой ситуации будет, например, функция , её производная , то есть положительная и слева и справа от 0, а в точке 0 равна 0. По графику видно, как ведёт себя функция (см. рис. 13).

Более важными являются случаи 1 и 3. Обратите внимание: в первом случае значение функции является наибольшим среди соседних значений. В третьем случае — наименьшим. Во многих прикладных задачах цель как раз и состоит в нахождении этих максимальных и минимальных значений. С некоторыми примерами таких задач вы можете ознакомиться в ответвлении.

Задачи на максимальное и минимальное значение

Задачи на минимальное и максимальное значение можно встретить в различных сферах. Так, любая задача оптимизации по сути и есть поиск таких условий, при которых будет что-то максимально или минимально. Сколько нужно произвести и продать товаров, чтобы получить максимальную прибыль? Какую транспортную сеть нужно создать, что минимизировать время доставки товара? Какой формы нужно создать бутылку, чтобы она имела заданный объём при минимальном использовании пластика? Общая конструкция таких задач следующая: есть ограниченные или фиксированные параметры, а есть изменяющиеся, и есть целевая характеристика, которую нужно сделать наибольшей или наименьшей. Цель: найти такие значения изменяющихся параметров, при которых будут соблюдены ограничения и будет достигаться наибольшее или наименьшее значение целевой характеристики. Например, чтобы вывести ракету в космос, нужно топливо. Чем больше топлива, тем большую полезную нагрузку можно вывести. Но чем больше топлива, тем больше масса самой ракеты. Или предположим, что мы собираемся в поход. Если взять много воды, то придется нести большую массу груза с собой, мы быстро устанем. Если же взять мало воды, то идти будет гораздо легче, но вода скоро закончится и нам нечем будет утолить жажду. Таких задач очень много. Одна из самых известных задач на оптимизацию — задача Дидоны. Подробнее о ней можете почитать самостоятельно. Если коротко изложить суть, то Дидона попросила столько земли, сколько она сможет оградить с помощью шкуры быка. Затем разрезала шкуру на тонкие полоски и смогла забрать достаточно много земли, чтобы основать целый город. Рассмотрим математическую формулировку задачи Дидоны.

Задача Дидоны (изопериметрическая задача)

Найдите фигуру с наибольшей площадью при заданном периметре.

Если взять верёвку длиной 20, то ею можно оградить прямоугольник  площадью 9,  площадью 16; квадрат  площадью 25. Если же оградить круг, то его площадь будет равна .

Можно доказать, что круг и будет искомой фигурой в задаче Дидоны.

Все эти задачи можно свести к функции одной или нескольких переменных, для которых нужно найти эти самые максимальные или минимальные значения.

Широкий спектр применения подобные задачи имеют и в физике. Так, любая система стремится к минимуму потенциальной энергии. Можно построить функцию зависимости потенциальной энергии от параметров системы. Найдя условия, в которых достигается минимум потенциальной энергии, мы найдём состояние, к которому будет стремиться система.

Поскольку указанные случаи имеют широкое применение, остановимся на них подробнее. Начнём с терминологии. В первой ситуации точка, в которой производная равна нулю, называется точкой локального максимума. Максимум локальный, т. е. местный, поскольку в целом функция может принимать и бо́льшие значения (см. рис. 14). Но среди ближайших значений это — максимальное.

Аналогично в другой ситуации точку называют точкой локального минимума (cм. рис. 15).

В целом все точки локальных максимумов и минимумов функции называют точками экстремума функции (от лат. extremum — крайний), то есть точками с крайними значениями: наибольшим и наименьшим.

Теперь посмотрим, как можно найти экстремумы функции. Если производная в точке равна нулю, то она может быть точкой экстремума, а может и не быть (см. рис. 16).

Обо всех этих случаях мы говорили ранее. Чтобы отделить их друг от друга, посмотрим на поведение функции:

• в случае локального максимума функция сначала возрастает, а затем убывает;

• в случае локального минимума функция сначала убывает, затем возрастает;

• в остальных случаях функция не меняет своего поведения (продолжает возрастать или убывать).

Знак производной связан с возрастанием или убыванием функции. Напомним: положительная производная — функция возрастает, отрицательная — функция убывает. Теперь можем сформулировать алгоритм поиска точек экстремумов.

Шаг 1. Найти точки, в которых производная равна 0.

Шаг 2. Определить знак производной вблизи этих точек:

• если при переходе через данную точку знак производной меняется с отрицательного на положительный — это точка минимума;

• если знак производной меняется с положительного на отрицательный — это точка максимума;

• если знак производной не меняется, то точка не является экстремумом функции.

Задание 6.

Найдите точки экстремума функции .

Решение:

Действуем по алгоритму. Найдём точки, в которых производная равна нулю. Для этого ищем производную функции:

Приравниваем её к нулю:

Решаем полученное уравнение.

Должны получить ;.

Шаг 2: найдём знак производной вблизи этих точек. Проще всего это сделать методом интервалов. Мы нашли нули производной . Они разбивают ось на интервалы, на которых знак производной неизменный (см. рис. 17).

Знаки на интервалах можно найти методом пробной точки. Или можно отметить, что производная — это квадратичная функция с положительным коэффициентом при . То есть знаки будут следующие (см. рис. 18).

Теперь мы видим, что в точке  знак производной меняется с положительного на отрицательный — это точка локального максимума. В точке  знак производной меняется с отрицательного на положительный — это точка локального минимума.

Ответ: — точка локального максимума; — точка локального минимума.

Чтобы не запутаться, в том, где будет максимум, где минимум, удобно на этих же интервалах обозначать монотонность функции. Производная положительная — функция возрастает, производная отрицательная — убывает (см. рис. 19). Тогда видим, что в точке  как бы «гора», это максимум. В точке — как бы «яма», это минимум (см. рис. 19).

Обратите внимание: в процессе поиска точек экстремума мы нашли ещё и промежутки монотонности: возрастания и убывания функции. Соответственно, если у вас будет отдельная задача — найти промежутки монотонности, то вы можете действовать по этому же алгоритму, используя метод интервалов.

Особенности поиска промежутков монотонности

Стоит уточнить, что поиск промежутков монотонности не всегда будет частью алгоритма по поиску экстремумов функции. При поиске экстремумов мы ищем только нули производной. Для непрерывной функции только они будут определять знак производной. Для них достаточно только указанного алгоритма.

Пример: найдите экстремумы функции .

или

Определяем знак производной (см. рис. 1).

— max

— min

Ответ: — точка локального максимума; 1 — точка локального минимума.

Но если производная будет дробной функцией, то её знак будет определяться не только нулями, но и точками разрыва, то есть особыми точками области определения. В таком случае нужно отметить на оси не только нули производной, но и эти особые точки, и найти знаки методом интервалов.

Пример: найдите экстремумы функции .

1)

2)

3)

Определяем знак производной (см. рис. 2).

— min

Ответ: — точка локального минимума.

Поиск точек экстремума — это по сути поиск условий, при которых достигаются экстремальные значения. Сами же значения функции можно получить, подставив найденные значения  в саму функцию. Но, как мы уже говорили, это будут локальные максимумы и минимумы. В целом же функция может принимать и бо́льшие, и меньшие значения, чем эти максимумы и минимумы (см. рис. 20).

При этом в практических задачах почти всегда есть ограничения на аргументы функции. Например, предприниматель готов вложить от 500 до 700 тыс. рублей в дело и хочет определить, при какой сумме он получит максимальную прибыль. Или автобусный парк располагает ограниченным количеством автобусов, и нужно минимизировать расходы на перевозку пассажиров в течение дня.

В связи с этим классической задачей является поиск минимального или максимального значений функции на заданном промежутке. Идея решения таких задач достаточно простая: на максимальные и минимальные значения претендуют локальные максимумы и минимумы функции, а также значения на краях промежутка. Алгоритм решения будет следующий.

Шаг 1. Ищем стационарные точки, в которых производная равна нулю.

Шаг 2. Находим значения функции в стационарных точках и на краях промежутка.

Шаг 3. Выбираем среди них наибольшее и (или) наименьшее значение — в зависимости от условия задачи.

Обратите внимание: проверять, являются ли стационарные точки экстремумами, не обязательно. Мы находим значения функции в этих точках и сравниваем их между собой. Это быстрее, чем искать экстремумы методом интервалов.

С примером решения задачи на нахождение максимального и минимального значения функции на промежутке вы можете ознакомиться в ответвлении.

Задача на максимальное и минимальное значение на промежутке

Задание 7.

Найдите максимальное и минимальное значения функции  на промежутке .

Шаг 1. Ищем производную функции и приравниваем к нулю.

Не забываем умножить на , поскольку аргумент у корня имеет вид , где ;.

Попробуйте решить самостоятельно это уравнение. Если у вас возникли с этим проблемы, пересмотрите урок («Иррациональные уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»). Должны получить ответ:

Шаг 2. Находим значения функции в найденной точке и на краях промежутка. Обратите внимание: значения функции, а не её производной!

Шаг 3. Сравниваем значения. Максимальное значение функции на заданном промежутке , минимальное значение — .

Ответ: — max, 0 — min.

Дифференцируемость функции

В конце нашего занятия мы поговорим о границах применимости такого инструмента, как производная. Их важно понимать, так же как важно знать технику безопасности при обращении с любым прибором.

Прежде всего отметим, что большинство функций, изучаемых в школьном курсе, — это непрерывные функции, то есть такие, которые можно нарисовать непрерывной линией — не отрывая ручки от листа. Но изучаются также и некоторые разрывные функции. Так, гипербола  имеет разрыв в точке , это хорошо видно по графику функции. Функции  и  также имеют разрывы, но уже не в одной, а во многих точках (см. рис. 21). Да и все функции, полученные различными преобразованиями из этих функций, также будут разрывными. Понятное дело, что в точке разрыва нет смысла говорить о скорости изменения функции. Так как и самого значения функции нет.

Таким образом, понятие производной функции в точке не определено в точках разрыва функции. Или ещё говорят, что функция не дифференцируема в точке разрыва.

Но и в непрерывных функциях возможна ситуация, когда функция не будет дифференцируема в некоторых точках. При этом значение функции в точке есть, а производная в ней не существует. То есть мы не можем по каким-то причинам вычислить скорость изменения функции в данной точке. Чтобы описать эти причины, воспользуемся наглядным представлением производной — касательной к графику функции.

Рассмотрим графики функций  и . Если мы попробуем изобразить касательную к функциям в точке , то получим вертикальную прямую (см. рис. 22). Уравнение этой касательной , и это никак не похоже на уравнение , в котором коэффициент равен производной функции в точке.

Таким образом, производной от данных функций в точке  не существует. Почему так? Вертикальная касательная, по сути, означает бесконечно большую скорость роста или убывания функции, которую даже нельзя определить. Также можно по таблице производных вычислить производные этих функций и убедиться, что в точке  производные не определены:

Таким образом, функция не дифференцируема в тех точках, в которых касательная к её графику является вертикальной прямой.

Рассмотрим ещё одну функцию . Если мы попробуем построить касательную в точке , то на её роль подойдут множество прямых (см. рис. 23).

То есть мы не можем однозначно определить значение производной в данной точке. В аналитическом виде это можно подтвердить так:

• с одной стороны, модуль можно раскрыть как , при . Производная  во всех указанных значениях, то есть и в точке ;

• с другой стороны, модуль можно раскрыть и как , при . Производная  во всех указанных значениях, то есть и в точке .

Итак, мы видим, что для функции  мы не можем однозначно определить значение производной в точке . Во всех подобных случаях, где есть такой «излом», мы также не сможем определить значение производной. Таким образом, функция не дифференцируема в так называемых угловых точках.

Мы выделили случаи, в которых нельзя вычислить производную функции. В таких точках функция не будет дифференцируема. Её так и называют — не дифференцируемая функция в этих точках. Соответственно, в остальных случаях, когда вы можете вычислить производную, функцию называют дифференцируемой в этих точках.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — АО «Издательство «Просвещение», 2010 год.

2. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 10 кл., 1 часть / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. — ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Алгебра и начала математического анализа / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин. — АО «Издательство «Просвещение», 2012 год.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал ege-study.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание

1. Найдите угол наклона касательной к графику функции  в точке .

2. Зависимость пройденного телом пути (в метрах) от времени (в секундах) задана функцией: . Определите момент времени , в который скорость тела равна 3 м/с.

3. Запишите уравнение касательной к графику функции  в точке  .

4. Найдите точки экстремума функции .

5. На графике функции  найдите точку, в которой касательная параллельна прямой