08. Дискретные случайные величины. Базовый уровень

Дискретная случайная величина. Распределение

Когда биатлонист стреляет по мишени, то есть всего два варианта: попал в чёрный кружок — мишень закрыта, не попал в чёрный кружок — мишень не закрыта. Нужно использовать дополнительные патроны, бежать штрафной круг, или терять минуту времени — зависит от вида гонок. Наблюдая за статистикой спортсмена на разных соревнованиях, можно сделать вывод о вероятности попадания и непопадания. Например, при стрельбе лёжа биатлонист попадает 9 раз из 10, значит, с вероятностью 90 % он закроет мишень, а с вероятностью 10 % — нет. Если обозначить попадания как единицу, а непопадание как ноль, то получим случайную величину, которая принимает всего 2 значения: с вероятностью 90 % — единица, с вероятностью 10 % — ноль.

Если взять не биатлониста, а стрелка по мишеням, представленным на рис. 1, то случайная величина его попадания может принимать значение от 0 (не попал вообще) до 10 (попал в яблочко), и, зная статистику стрельб, можно оценить вероятность каждого из этих значений при следующем выстреле.

Можно пойти ещё дальше и измерять расстояние от центра мишени до центра выстрела: чем меньше, тем точнее. Понятно, что это будет идеальная модель. На практике определить центр выстрела не так просто — дырка в мишени имеет неправильную форму. Тогда случайная величина будет принимать любое значение от нуля до , где — радиус мишени. Если в первых двух примерах набор значений случайной величины был конечным множеством — {0, 1} или {0, 1, 2, 3,..10}, — то в третьем примере случайная величина может принимать любое вещественное значение из промежутка .

В первых двух случаях мы имеем дело с дискретными случайными величинами (от латинского — «отрывистый, состоящий из отдельных частей»), и про них мы сегодня и поговорим. А в третьем случае — с непрерывной случайной величиной, о которой мы поговорим на следующем уроке.

Обозначать случайную величину будем заглавными латинскими буквами, а конкретные значения, которые она принимает, — строчными буквами. Каждому значению случайной величины соответствует вероятность того, что случайная величина примет именно это значение. Такое соответствие называют законом распределения.

Закон распределения полностью задаёт случайную величину. В нашем примере с биатлонистом закон распределения имел бы следующий вид:

Пусть — случайная величина, равная количеству очков, выпавших на игральном кубике при одном броске. Закон распределения в этом случае выглядит очень просто, оформим его в виде таблицы(см. рис. 2).

Всего значений шесть, вероятность каждого . Если бы мы доставали из урны с шестью шарами наугад один шар, то закон распределения номера шара выглядел бы точно так же. Для построения законов распределения мы используем математические модели — одна и та же модель может приближённо описывать разные ситуации. Переход от конкретного опыта к математической модели позволяет рассматривать и новые случайные величины.

Рассмотрим случайную величину . Значения изменились, вероятности остались те же самые (см. рис. 3).

Мы рассматриваем дискретные величины, множество их значений перечислено в верхней строке таблицы. Других значений величина принимать не может. Значит, сумма всех вероятностей равна единице: .

То, что величина примет одно значение из верхней строки (закон распределения) — достоверное событие. Если значения вероятности равны друг другу, как в случае бросания монет или кубика, соответствующее дискретное распределение называется равномерным. Таким образом, отдельные значения случайной величины похожи на элементарные исходы. Основное отличие — вероятности значений не обязаны быть равны друг другу, хотя в рассмотренных примерах они как раз были равны, то есть мы рассматривали равномерное дискретное распределение.

Бросим теперь 2 кубика и рассмотрим случайную величину. Сумма выпавших на них очков — это случайная величина, она может принимать значение от 2 до 12, и вероятности этих значений уже не равны. Сделаем таблицу для закона распределения и посчитаем вероятности с помощью классического определения вероятности (рис. 4).

Всего существует 36 исходов. Один кубик может выпасть шестью способами, и второй — шестью. Случайная величина только в одном случае, когда на первом и на втором кубике выпадут единицы, обозначим этот случай, вероятность такого события . Для того, чтобы , существует две возможности, и , вероятность этого события равна  или . Удобнее все знаменатели оставлять одинаковыми. Идем дальше: . Подходят варианты ,,, вероятность будет равна . Продолжая подсчёт, получим, последнее значение: . Оно получается только в одном случае — . Вероятность снова . Чтобы проверить свои расчёты, нужно сложить все вероятности — если мы не ошиблись, то в сумме получим единицу.

Математическое ожидание

Ученик 11 класса Петя получил за семестр 6 четвёрок и 4 пятёрки по алгебре. Каков у него средний балл?

Ответить просто — нужно сложить все оценки и разделить на их количество:

.

Видим, что среднее значение не является средним арифметическим двух оценок, четвёрки и пятёрки (в этом случае средняя была бы равна 4,5). Так вышло потому, что вклад четвёрки больше, чем вклад пятерки. Можно было поступить чуть иначе — посчитать вклад каждой оценки в среднюю.

Всего десять оценок: 6 четвёрок дают вклад 0,6, а 4 пятёрки — вклад 0,4. В математике этот вклад называют весом. В данном случае вес четвёрки — 0,6, а пятёрки — 0,4. Осталось посчитать саму среднюю величину, или, как её называют, средневзвешенную. Для этого каждую оценку умножаем на её вес и все складываем:

.

Получили ту же самую средневзвешенную 4,4.

Вероятность случайной величины очень похожа на те веса, которые мы только что использовали. Если бы мы точно знали, что вероятность получить четвёрку у Пети равна 0,6, а пятерку — 0,4, то мы могли бы посчитать ровно такую же средневзвешенную величину. Арифметически это то же самое, различия только в том, откуда мы получили эти веса.

В первом случае это были статистические наблюдения, во втором мы из закона распределения взяли вероятности и использовали их в качестве весов.

Такую величину называют математическим ожиданием случайной величины, или кратко — матожиданием.

Итак, пусть случайная дискретная величина принимает значения  с вероятностями .

Тогда, если каждое значение умножить на его вероятность и полученные произведения сложить, то полученное число называется матожиданием случайной величины .

.

Для суммы многих слагаемых часто используют специальный знак — (сигма). Величина  пробегает все значения от 1 до . Обозначается матожидание как . Так как для разных величин матожидания разные, то матожидание является функцией от случайной величины .

В чём разница между статистической средней и матожиданием? Средняя считается после серии испытаний. Если мы не бросили ни разу кубик, то не может быть никакой статистической средней, так как нет ещё никакой статистики. Но мы знаем все возможные исходы опыта и его вероятности, следовательно, уже можем посчитать матожидание. Случайная величина — количество выпавших очков на кубике принимает значения от 1 до 6, все вероятности равны .

Посчитаем матожидание:

.

Таким образом, матожидание — это точно не то значение, которое мы ожидаем больше всего при броске кубика. Уж точно мы не ожидаем, что выпадет 3,5. И совсем не обязательно, что средняя будет равна матожиданию. Если мы бросим кубик один раз, то средняя будет равна выпавшему количеству очков, то есть целому числу. Если бросим два раза, то может случится, что выпадет 3 и 4, или 2 и 5, и средняя будет действительно равна 3,5, но, могут выпасть 1 и 2, и средняя будет равна 1,5. Или 6 и 6 — тогда средняя будет равна 6.

Чего же тогда ожидает матожидание?

Предположим, мы бросили кубик 600 раз. Так как все исходы равновероятны, то каждый наступит примерно 100 раз. Тогда средняя будет равна примерно 3,5. Если мы бросим кубик 6 миллионов раз, то будем ещё более уверены, что средняя будет близка к этому значению.

Таким образом, матожидание — это ожидание того, какова будет средняя при очень большом количестве испытаний.

Сравнение статистической средней с матожиданием показывает нам, как применять это понятие. Предположим, вам предложили игру с известным законом распределения вероятностей выигрыша. Чтобы оценить выгодно в неё играть или нет, можно провести серию испытаний и измерить среднюю. Но за это время проигрыш может составить весомую величину. Но вы ещё до игры можете посчитать матожидание, то есть предсказать эту среднюю. Возникает вопрос — разве нас интересует средняя? Ответ — да, конечно. Если вы собираетесь провести 30 игр и знаете матожидание, то есть предсказанное среднее значение, которое равно 10, то ваш суммарный выигрыш будет близок к величине .

Пример. Лотерейный билет стоит 100 рублей. На каждые 100 билетов 10 выигрывают по 400 рублей и один 4 000 рублей. Остальные билеты не выигрывают ничего. Составим закон распределения выигрыша.

Если билет ничего не выиграл, то наш выигрыш составил –100 рублей (мы проиграли 100 рублей). Всего таких билетов 89 из 100, то есть вероятность 0,89. Если билет на 400 рублей, то наш выигрыш за вычетом цены билета составит 300 рублей с вероятностью 0,1. И в лучшем случае — выигрыш 3900 рублей с вероятностью 0,01.

Найдём матожидание выигрыша. Перемножим выигрыши с вероятностями и сложим:

Получили матожидание: –20 рублей.

Если мы купим 1 билет, то матожидание мало что скажет. Но при постоянной игре или массовой покупке билетов в среднем мы будем проигрывать по 20 рублей на каждом билете. То есть можно быть достаточно уверенным, что при покупке 100 билетов мы проиграем примерно рублей.

Рассмотрим игру в рулетку (рис. 5). Если рассматривать игру в рулетку упрощённо — 37 ячеек, 18 красных, 18 чёрных и зелёное зеро, — то игрок играет против казино, выбирает цвет ячейки, и именно наличие зеро делает матожидание для казино положительным, а значит и в целом прибыльной игру.

Действительно — вероятность выпадения красного, или чёрного цветов равна, зелёного — . Соответственно, какой бы цвет ячейки не выбрал игрок, шансы казино на победу даже при абсолютно честной игре всё равно выше. Если бы зеро не было, то на длинных дистанциях казино и игрок оставались бы в среднем при своих.

Обратим внимание на ещё одну важную вещь — закон больших чисел. Он говорит о том, что при достаточном количестве испытаний среднее значение величины сколь угодно близко приближается к матожиданию. Мы уже неоднократно формулировали его или его следствие неявно, например, предполагали, что при многократном бросании орла, или решки, их количество будет примерно одинаково. Однако этот закон часто трактуют неверно, полагая, что за чередой неудач обязательно пойдут удачи, поэтому некоторые не останавливаются, а стараются отыграться, залезая в ещё большие долги. На самом деле нет никаких оснований считать, что за десятью орлами обязательно выпадет решка. Монета не имеет памяти, и каждый следующий бросок всё равно даёт шансы 50 на 50. Последовательность из 11, 12, или вообще любого количества орлов подряд хоть и маловероятна, но возможна, поэтому не стоит думать, что начав проигрывать, обязательно в скором времени представится возможность отыграться. Даже если вероятность выигрыша при каждой игре равна , вы всё равно с большей долей вероятности будете оставаться в минусе, а не вернётесь в плюс.

Дисперсия случайной величины

Итак, мы уже разобрались, что матожидание очень важная характеристика случайной величины. Но часто, чтобы оценить происходящее, матожидания недостаточно.

Один стрелок очень точно стреляет по мишени и все попадания рядом с центром, смещение в стороны незначительные. Второй очень плохо стреляет, и его отметки от выстрелов разбросаны во все стороны далеко от центра (рис. 6). При этом средняя не далеко от центра у обоих, матожидание у них одинаковое, но разная кучность стрельбы.

Проиллюстрируем это на двух случайных величинах и .

Стрелок :

Стрелок :

Если проводить аналогию со стрелками, то стрелок бьёт в цель намного чаще и промахивается недалеко:

.

Стрелок редко попадает в цель и промахи у него очень далёкие от цели:

.

Но несложно увидеть, что матожидания обеих случайных величин равны нулю. То есть у обоих стрелков прицел не смещён в сторону, оба в среднем стреляют именно в мишень, но у них совершенно разное рассеяние. Понятно, что у второго это рассеяние больше. Но можно ли его вычислить для обеих случайных величин? Можно попробовать вычислять не значение с учетом знака влево-вправо плюс-минус, а посчитать, насколько далеко каждый выстрел отклоняется от среднего — от матожидания. Ведь что такое высокая кучность стрельбы? Это когда все выстрелы близко друг другу. Попробуем указать количественную характеристику разброса для величины Х. Найдём возможные отклонения значений от матожидания, то есть  и занесём их в таблицу новой строкой. Это –1, 0 и 1:

Если теперь их сложить, то за счёт разных знаков они дадут ноль. Чтобы этого избежать, их возводят в квадрат. Запишем это в следующей строке. Теперь все отклонения нужно сложить. Но так как эти отклонения бывают с разной вероятностью, то нужно применить веса, то есть посчитать средневзвешенную величину:

Полученная величина называется дисперсией, что означает «рассеяние» на латыни. Обозначается буквой и для величины она равна 0,2:

.

Вычислим дисперсию для величины . Внесём в таблицу все отклонения значений от матожиданий и их квадраты:

Посчитаем средневзвешенную. Получим 80:

.

То есть разница в рассеивании просто огромная, что и следовало ожидать. Вспомним, что средневзвешенная величина, если веса — это вероятности, называется матожиданием. То есть дисперсия — это матожидание случайной величины, записанной в последней строке.

.

Пример. Найдём матожидание и дисперсию следующей случайной величины.

Для начала нам нужно матожидание. Перемножаем значения величины и вероятностей и складываем:

.

Найдём все разности значений величины и матожидания и внесём в третью строку:

Возведём все значения в квадрат и запишем в четвертой строке:

Найдём дисперсию, как матожидание случайной величины из четвёртой строки:

Вычисление дисперсии было достаточно трудоёмким. На практике используют вот такую формулу расчета:

.

Дисперсия случайной величины равна разности матожидания квадрата величины и квадрата матожидания. Звучит на слух странно, но если смотреть на формулу, то становится всё понятно. Нужно найти новую величину  и посчитать для неё матожидание. Потом вычесть из него квадрат матожидания исходной величины.

Применим эту формулу к той же самой случайной величине:

Матожидание её мы уже искали, .

Выпишем значения новой величины — .

Найдём матожидание этой новой величины:

.

Осталось применить формулу для вычисления дисперсии:

.

Вычтем из матожидания новой величины квадрат матожидания старой:

.

Получили то же самое значение дисперсии, но значительно меньшими усилиями.

Так как дисперсия представляет собой средневзвешенную квадратов значений случайной величины, то и размерность у неё вышла квадратичная относительно исходной. Чтобы вернуться к исходной размерности часто рассматривают корень из дисперсии:

.

Обозначается новая величина буквой сигма () и называется среднеквадратичным отклонением.

Рассмотрим матожидание и дисперсию упомянутых ранее распределений. Распределение Бернулли, где всего один опыт, имеет понятные матожидание и дисперсию. Сделайте эти вычисления самостоятельно. Там всё очень просто:

;

.

Для биномиального распределения матожидание и дисперсия равны соответственно:

;

.

Для геометрического распределения матожидание и дисперсия равны соответственно:

;

.

С выводом этих значений вы познакомитесь при более серьёзном изучении теории вероятностей. А мы примем их без доказательств.

Заключение. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно. Случайная величина может быть задана законом распределения. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Кроме закона распределения, который даёт полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины. Математическим ожиданием дискретной величины называют сумму произведений всех её возможных значений, умноженных на их вероятности. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии .

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа 10–11 кл. В. 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2009.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. — М.: Дрофа.

3. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа 10–11 кл. В. 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина, 2009.

4. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Теория вероятностей и статистика. — М: МЦМНО, 2008.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «infourok.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. В урне 10 шаров, из них 4 белых, остальные — чёрные. Из урны случайным образом вынимают два шара. Найти закон распределения случайной величины числа вынутых белых шаров.

2. Найдите значение , если закон распределения случайной величины имеет вид:

3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной законом распределения:

4. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Случайная величина — количество попаданий в мишень. Найти закон распределения случайной величины , математическое ожидание и дисперсию .