12. Непрерывные случайные величины. Профильный уровень

Функция распределения непрерывной случайной величины

Если случайная величина принимает не отдельные, а все значения на некотором интервале, то её называют непрерывной.

Температура на улице, рост случайно выбранного человека, дальность полёта брошенного камня — всё это примеры непрерывных величин.

Случайные величины описываются законом распределения. В случае дискретной величины мы для каждого значения записывали вероятность. Удобная форма такой записи для конечного числа значений — таблица. С непрерывной величиной по понятным причинам так не получится.

Кроме того, обычно вероятность каждого конкретного значения равна нулю.

Пример. Возьмём кусок ткани — например платок. Отметим на нём точку , а затем проткнём платок иголкой вслепую (рис. 1).

Какова вероятность того, что мы попали именно в точку А? На самом деле она равна нулю. Точек в плоской фигуре (а кусок ткани мы можем считать такой фигурой) бесконечно много, благоприятный исход — один. Более того, даже если бы мы нарисовали на ткани линию, то вероятность проткнуть вслепую точку на этой линии тоже была бы равна нулю, несмотря на бесконечное количество благоприятных исходов (рис. 2).

Таким образом, вопрос остался — как описать закон распределения непрерывной случайной величины?

Построим математическую модель примера с иголкой и тканью. Будем втыкать иголку в отрезок на оси абсцисс. Будем считать, что предпочтений нет. Это значит, что если разделить отрезок на любое количество равных частей, то вероятность попасть в каждый из них одинакова.

Построим функцию , значение которой для каждого будет равно вероятности того, что значение величины меньше, чем конкретное значение , т. е. .

Случайная величина принимает любые значения от 0 до 1, но сравнивать её значения мы можем с любым числом, поэтому х вполне может принимать все действительные значения.

Итак, какова вероятность, что Х примет значение меньше 0? Очевидно, нулевая — это невозможное событие. Таким образом, при всех . График этой функции на отрицательной части оси совпадает с осью .

Какова вероятность, что примет значение меньше 0,2? Очевидно, это вероятность попасть в отрезок . Но такая вероятность 0,2, то есть график функции проходит через точку . Аналогично вероятность того, что , равна 0,7. И в общем, если х лежит на отрезке , то вероятность того, что , равна . График соединяет точки и .

Если принимает значение больше единицы, то очевидно, вероятность того, что случайная величина будет меньше этого числа , равна единице.

То есть функция равна 1 для всех .

Ну а график после становится параллельным оси :

Рассмотренная функция является способом задать закон распределения непрерывной случайной величины. Называется она функцией распределения. Конечно, функция распределения не обязательно возрастает именно на отрезке и совершенно не обязательно является линейной на этом отрезке (рис. 3).  

Но что точно мы можем про неё сказать:

1. на левом краю (на минус бесконечности) она равна или приближается к нулю;

2. на правом краю (на плюс бесконечности) она равна или приближается к единице;

3. функция везде не убывает;

4. функция везде непрерывна.

Рассмотрим пример случайной величины, заданной своей функцией распределения.

Построим её график:

Если при построении графика вы получили разрыв в любом месте или убывание, то или неверно записана функция, или ошибка при построении графика. В нашем случае всё хорошо.

Что мы можем узнать о случайной величине, глядя на её функцию распределения и график?

Самое простое — случайная величина принимает все значения на отрезке .

Вычислим функцию распределения в двух нетривиальных точках:

;

.

Каков смысл этих величин?

 означает, что вероятность того, что случайная величина равна 0,25: .

Аналогично вероятность того, что равна 0,81: .

Тогда не трудно понять, что вероятность величине попасть в интервал от 3 до 3,8 равна 0,56: .

Таким образом, значение функции распределения в некоторой точке а равно вероятности того, что случайная величина приняла значение меньше этого числа а: .

А для двух чисел и , если , разность  означает вероятность попадания случайной величины в интервал .

.

На графике эта вероятность — длина отрезка на оси между соответствующими значениями функции.

Плотность вероятности. Равномерное распределение

В примере с иголкой и единичным отрезком, при делении отрезка на равные части вероятности попасть в любой из них были одинаковы. В этом случае говорят, что случайная величина распределена равномерно по всему отрезку, а само распределение называют равномерным. В этом случае функция распределения на участке возрастания является линейной (рис. 7).

Если мы выберем два одинаковых по длине отрезка и , то вероятность, что случайная величина попадает в один или в другой, равна разности функций распределения, вычисленных на краях этих отрезков, но в силу линейности функции они будут равны:

.

Теперь представим, что мы бросаем иголку на тот же единичный отрезок, но уже стараемся попасть в центр (рис. 8.1). Если бросков будет много, то следы от попаданий будет плотнее уложены около центра и менее плотно ближе к краям отрезка.

Вероятность попасть в каждую точку конкретно по-прежнему остаётся равной нулю, но при этом можно говорить, что плотность вероятности в центре больше, чем на краях.

Это означает, что функция распределения будет расти быстрее в центральной части отрезка и медленнее на краях отрезка.

То есть мы можем представить себе, как примерно выглядит теперь функция распределения. Раз чем плотность выше, тем быстрее растет функция, то за плотность вероятности можно, наверное, и принять эту скорость, то есть производную.

Рассмотрим эту ситуацию более формально. Пусть случайная величина определена на отрезке и задана своей функцией распределения (рис. 10).

На отрезке выберем точку и определим в ней, что такое плотность вероятности. Зададим приращение точки .

Вероятность того, что случайная величина примет значение из отрезка , равна .

Подобно тому как если массу тела разделить на его объём, получим среднюю плотность тела, так и, если вероятность попадания в отрезок  поделить на его длину, — полученную величину можно назвать средней плотностью вероятности на отрезке .

— средняя плотность вероятности на .

Если плотность вероятности везде одинакова, то есть у нас равномерное распределение, то на этом можно и успокоиться. В каждой точке будет одинаковая плотность вероятности, равная средней. Но если плотность в разных точках разная, то нужно поступить стандартным образом.

Нужно устремить длину отрезка  к нулю. Понятно, что вероятность попадания в этот интервал  тоже будет стремиться к нулю, но их отношение будет равно средней плотности вероятности на , а предел этого отношения естественно считать плотностью вероятности в точке .

.

Но такой предел — не что иное, как производная функции в точке , что мы, собственно, и предположили чуть раньше.

Обозначим эту производную, то есть плотность вероятности, через .

Изучим подробнее полученную величину.

Свойства плотности вероятности

Во-первых, так как в разных точках значение разное, то мы имеем дело с функцией, заданной на действительной оси: .

Во-вторых, так как функция распределения за пределами отрезка постоянна, то производная там равна нулю: .

В-третьих, так как функция распределения на отрезке возрастает, то производная там не отрицательна. То есть плотность вероятности не бывает нигде отрицательной, что, конечно, соответствует сущности этого понятия — предел отношения вероятности попадания в отрезок к длине этого отрезка. Здесь просто неоткуда взяться отрицательным значениям. При этом функция плотности может и возрастать, и убывать, и быть постоянной.  на отрезке .

В-четвертых, функция распределения была непрерывна, а вот плотность вероятности уже может иметь разрывы, как на краях отрезка, так и внутри. На графике функции распределения это будет выглядеть как резкое изменение скорости роста, то есть излом кривой, угол.

В-пятых, функция распределения не бывает больше единицы, а плотность вероятности может достигать очень больших значений, правда только на коротком интервале, так как функция распределения не может долго возрастать с высокой скоростью.

Вернёмся к примеру функции распределения, рассмотренному чуть раньше, и построим функцию плотности вероятности.

Возьмём производную от функции распределения.

Там, где функция распределения равна 0 или 1, плотность равна нулю. На отрезке она как производная от квадратичной функции является линейной.  

На левом краю отрезка функция плотности непрерывна, это соответствует плавному началу роста функции распределения, которая в этой точке не имеет угла, её называют гладкой.

В точке , на правом краю отрезка, функция плотности имеет разрыв, мгновенно меняет своё значение от единицы до нуля. У функции распределения в этой точке угол, быстрый рост мгновенно сменяется нулевым ростом.

Тот факт, что плотность распределения принимает самое большое значение единица, — совпадение и не является обязательным свойством.

Мы рассмотрели важные, но не самые главные свойства функции плотности.

Перейдём теперь к основному.

Рассмотрим сначала самый простой случай — равномерное распределение.

Пусть случайная величина распределена равномерно на отрезке (рис. 15).

Вероятность попасть в этот интервал равна 1.

.

Средняя плотность вероятности на этом отрезке равна один делить на длину отрезка, то есть .

Так как распределение равномерное, то плотность вероятности везде одинакова и равна средней на всём отрезке. За пределами отрезка плотность равна нулю.

Таким образом, мы полностью описали функцию плотности и построили её график.

Функция распределения на рассматриваемом отрезке — это линейная функция, принимающая на концах отрезка значения 0 и 1. Построим её график.

Так как плотность вероятности мы получили, разделив единицу на длину отрезка , то есть на 2, то понятно, что, проделав это в обратную сторону, то есть умножив длину отрезка на плотность, на , мы получим эту же единицу. Но это ведь площадь изображённого прямоугольника.

Это справедливо для любого равномерного распределения. Если бы длина отрезка была бы равна 10, то плотность вероятности (высота прямоугольника) была бы равна  и площадь опять была бы равна единице.

Площадь прямоугольника равна вероятности для случайной величиныпопасть в отрезок , но это и есть единица.

Запишем теперь функцию распределения.

Вне отрезка всё понятно, а на отрезке — это линейная функция с угловым коэффициентом :

Легко найти само аналитическое выражение. Это .

Итак, мы построили функцию распределения.

График функции распределения имеет вид:

Сравним функцию плотности и функцию распределения.

Выберем точку на отрезке .

Значение функции распределения в этой точке равно вероятности для случайной величины оказаться левее Но на графике плотности мы тоже можем указать это значение. Площадь всего прямоугольника — это вероятность попасть в отрезок , а площадь прямоугольника слева от — это вероятность попасть в отрезок от 2 до .

Например, в точке 3,5 функция распределения равна 0,75, но площадь прямоугольника левее 3,5 тоже равна 0,75:

.

Таким образом, мы получили связь между двумя функциями. Площадь под функцией плотности от начала отрезка распределения до точки равна значению функции распределения в этой точке: .

Всё это верно и для произвольного распределения.

Рассмотрим произвольное распределение на отрезке , заданное своими функцией распределения и плотностью распределения:

На самом деле, чтобы задать распределение, достаточно одной из этих функций, другую можно построить по первой.

Выберем произвольную точку .

Площадь под функцией плотности на отрезке от до равна значению функции распределения в этой точке: .

Если точка лежит левее , то и площадь под графиком плотности и значение функции в этой точке равны нулю: .

Если точка лежит правее точки , то и площадь и значение функции распределения равны единице: .

Это не удивительно, так как плотность — это производная от функции распределения, то функция распределения — это интеграл от плотности, а значит площадь криволинейной трапеции под её графиком:

.

Часто нас интересует вероятность не того, что случайная величина не превзойдёт некоторой величины, а что она окажется в конкретном интервале.

Здесь ситуация проста — пусть случайная величина распределена на отрезке . Пусть отрезок вложен в него.

Какова вероятность, что случайная величина попадает в него?

Вероятность попасть в отрезок равна вероятности попасть левее минус вероятность попасть левее . Это равно разности значений функции распределения в этих точках.

Эта же разность равна разности площадей под графиком плотности на отрезках и , то есть просто площади под графиком плотности на отрезке .

Надеюсь, вы узнали формулу Ньютона — Лейбница:

.

Определённый интеграл на отрезке равен разности значений первообразной на концах этого отрезка.

Пример. Функция плотности задаёт случайную величину.

Найти вероятность попадания этой величины в интервал .

Изобразим график функции плотности:

Убедимся, что для функции выполняется основное свойство функции плотности — площадь под всем графиком должна быть равна единице.

Найдём интеграл от функции плотности на отрезке от 0 до 1. Он равен единице, как и должно быть.

Теперь, чтобы найти вероятность попадания в нужный нам интервал, нужно в интеграле изменить пределы интегрирования, то есть вычислить его в пределах от  до .

Получаем , что примерно равно 0,3:

Используя функцию плотности вероятности, легко дать определение равномерного распределения. Так как плотность постоянна, то она равна средней плотности на всём интервале, а средняя плотность равна единице (то есть суммарной вероятности), делённой на длину отрезка, то есть на .

Таким образом, распределение непрерывной случайной величины на отрезке называется равномерным, если его плотность вероятности вне отрезка равна нулю, а на отрезке равна .

График плотности выглядит как прямая, параллельная оси на высоте :

Нормальное распределение

Равномерное распределение является очень простым для восприятия, для математической записи. Но не так просто найти в реальном мире случайную величину, распределённую таким образом.

Бросая иголку на единичный отрезок, а в реальной жизни, например, кидая дротик в мишень дартса, мы не получим равномерного распределения отметок от попаданий. Чем ближе к центру, тем гуще будут ложиться отметки, тем выше там будет плотность вероятности, на краях же мишени будут очень редкие отметины.

Если подумать, то почти все симметричные процессы будут устроены примерно также — максимальная плотность будет в центре интервала, а на краях она будет стремиться к нулю.

В реальном мире случайная величина часто складывается из других случайных слабо зависимых друг от друга величин. Наблюдения за такими величинами привели к пониманию, что все они стремятся к идеальной математической модели распределения, которое называют нормальным. Название «нормальное» здесь нужно понимать как очень часто встречающееся, как норму. Карл Фридрих Гаусс (рис. 27), великий математик XIX века, описал это распределение. Поэтому часто нормальное распределение также называют распределением Гаусса.

Рассмотрим сначала так называемое стандартное нормальное распределение, у которого все параметры упрощены, как только это возможно. Стандартное нормальное распределение имеет плотность вероятности, заданное указанной формулой на всей действительной оси:

.

Эта функция везде положительна, но при стремлении к плюс или минус бесконечности, очень быстро стремится к нулю.

График плотности стандартного нормального распределения симметричен относительно нуля.

В нуле она принимает максимальное значение, равное .

Интеграл от плотности от минус бесконечности до плюс бесконечности равен 1, то есть главное свойство функции плотности выполняется:

.

Как видим из графика, почти вся площадь сосредоточена на отрезке .

Она равна тому же самому интегралу, но на отрезке от . Это значение равно:

.

То есть вероятность того, что случайная величина попадает в такой отрезок, равна 99,73 %, а вероятность выйти за пределы — 0,27 %, что очень близко к нулю.

Чтобы найти вероятность попадания в интервал от , необходимо вычислить интеграл от плотности в пределах и :

.

Этот интеграл относится к так называемым неберущимся интегралам — то есть нет метода, позволяющего представить соответствующую первообразную в виде комбинации элементарных функций, и его нельзя вычислить обычными методами.

Функция распределения записывается как этот же интеграл с переменным верхним пределом:

.

Мы не можем записать формулу для вычисления, но это не значит, что мы не можем вычислить площадь под графиком подынтегральной функции при заданных начальных параметрах. Ведь понятно же, что такая площадь будет конкретным числом. Были разработаны специальные методы, которые позволили вычислить значения интегралов такого типа и составить таблицы — по аналогии с таблицами Брадиса для вычисления значений тригонометрических функций.

Так как функция плотности симметрична, то левая её часть имеет такую же площадь под графиком, как и правая. Учитывая этот факт, можно использовать функцию, аналогичную функции распределения, но в которой интеграл считают не от минус бесконечности, а от нуля:

.

Эту функцию называют нормированной функцией Лапласа. Значение функции Лапласа равно вероятности попадания в интервал . Вероятность попадания в интервал равна разности соответствующих значений функции Лапласа:

.

Так как мы не можем вычислить значения этой функции элементарными методами, сделаны таблицы для основных значений. То есть, все вычисления будут сводиться к отысканию по таблицам двух значений функции Лапласа, которая практически и есть функция распределения.

Не все процессы симметричны вокруг нуля и не все попадают почти целиком в интервал . Чтобы из стандартного нормального распределения получить более общий вид, нужно ввести два параметра.

Нужно сдвинуть график вдоль оси на произвольную величину и растянуть или сжать график, чтобы основные значения величины были распределены на более узком или более широком интервале.

В общем случае плотность нормального распределения имеет вид:

.

Вычитание величины μ из аргумента сдвигает всё распределение на эту величину, а деление на σ растягивает график во столько же раз.

Таким образом, центром распределения становится точка μ, которая называется математическим ожиданием. Отрезок растягивается (или сжимается) до отрезка . называется среднеквадратичным отклонением.

Тот факт, что вся основная площадь под плотностью распределения заключена на этом отрезке, называют правилом трёх сигм.

.

Вероятность попадания случайной величины в этот интервал равна 0,9973.

Задача. У 10 000 мужчин был измерен рост. Все данные сведены в таблицу. Построим функцию плотности распределения.

Мы знаем, что при таких измерениях случайная величина подчиняется нормальному распределению:

.

Начнём с матожидания. Найдём самое распространенное значение роста. Пусть оно оказалось равным 176 см. Это и будет — матожидание, среднее значение. Далее, нам нужно найти — среднеквадратичное отклонение. Для этого используем правило трех сигм.

За пределы интервала должно попасть  совокупности, то есть 27 человек из 10 000. Начнём сжимать интервал, симметричный вокруг значения 176, пока за его пределами не окажутся эти 27 человек.

Оказалось, что этот интервал . Тогда

;

.

Подставляем эти параметры в формулу плотности и получаем искомое распределение:

.

Насколько точно мы смогли это сделать, можно проверить по высоте распределения.

В центре распределения значение зависит только от сигмы и в нашем случае должно быть примерно равно 0,057:

.

Нормальное распределение нужно всем людям, которые занимаются статистикой — экономистам, социологам, биологам, и уж конечно, физикам и математикам. На всех этих специальностях в высших учебных заведениях вы будете сталкиваться с этим распределением. При этом, конечно, всё не исчерпывается равномерным и нормальным распределениями. Будут и другие распределения.

Список литературы

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1997. — 479 с. Глава X, § 1–3; глава XI, § 1–6; глава XII, § 1–8.

2. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. — 551 с. П. 3.6, п. 4.7.

Домашнее задание

1. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найдите коэффициент .

2. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найдите функцию плотности вероятности.

3. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найдите вероятность попадания случайной величины в отрезок .

4. В некотором городе в среднем живёт 150000 жителей, причём среднеквадратическое отклонение равно 20000 человек. Определить, в каких пределах может находиться число жителей этого города, если известно, что их число распределено по нормальному закону.