Задача 1
Начнем с задачи.
Предположим, что вероятность получения вами пятерки за контрольную равна 0,5, а четверки – 0,3. Какова вероятность того, что за контрольную вы получите 4 или 5?
Некоторые сразу выпалят: «0,8», но почему именно так? Почему, например, не 0,15 (перемножили, а не сложили)? Разберемся.
Предположим, есть некоторый опыт, у которого есть 
исходов. Из них наступлению события 
благоприятны 
, а событию 
– 
. Нетрудно по формуле найти вероятности наступления каждого из событий – это соответственно 
и 
. Но какова вероятность того, что наступит либо первое событие, либо второе? Иначе говоря, мы ищем вероятность объединения этих событий. Для этого надо выяснить, сколько у нас благоприятных исходов. 
? Не совсем. Ведь может случиться так, что эти события выполнятся одновременно.
Тогда предположим, что события непересекающиеся, то есть не могут выполняться одновременно. Вот тогда получаем, что благоприятных исходов для объединения – . Значит, вероятность объединения будет равна:
Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Обратим внимание: здесь речь идет об ОДНОМ эксперименте, в результате которого может наступить либо первое событие, либо второе, но не оба сразу.
В частности, в примере с контрольной мы понимаем, что ученик не может одновременно получить за контрольную и 5, и 4 (речь идет об одной оценке за одну и ту же контрольную), значит, вероятность того, что он получит 4 или 5, равна сумме вероятностей, то есть, все-таки, 0,8.
Ответ: 0,8.
А что делать, если события пересекаются, то есть существуют исходы, благоприятные для них обоих? Такая ситуация будет рассмотрена в конце урока.
Еще один пример.
Задача 2
По статистике футбольный клуб «Вымпел» побеждает в очередном матче с вероятностью 0,2, играет вничью с вероятностью 0,5 и проигрывает с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что «Вымпел» не проиграет следующий матч, если верить статистике?
В данном случае задачу можно решить двумя способами.
Можно применить нашу формулу, ведь если он не проиграет, то он либо сыграет вничью, либо выиграет. Значит, вероятность этого равна 0,7.
А можно решить иначе: раз вероятность того, что он проиграет, нам дана – 0,3, то вероятность того, что он не проиграет, равна 
.
Как видите, ответы совпали.
Ответ: 0,7.
Задача 3
Произведение вероятностей
Предположим, что мы провели два разных опыта. Например, ученик написал два экзамена, и каждый из них он сдал на 5 с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что он сдал на 5 оба экзамена?
По аналогии некоторые из вас готовы к 0,8 прибавить 0,8 – это будет 1,6. Многовато для вероятности. Впрочем, если присмотреться, здесь совсем другая ситуация!
Если раньше мы имели дело с двумя непересекающимися событиями для одного эксперимента, то сейчас речь идет об исходах двух экспериментов. А кроме того, раньше мы говорили об объединении (то или то), а сейчас – о пересечении (и то, и то).
Пусть есть первый эксперимент, у него есть 
исходов, из которых благоприятствуют первому событию, а кроме этого, есть второй эксперимент, у него есть 
исходов, из которых благоприятствуют второму событию. Тогда всего исходов у двух экспериментов – 
(по правилу произведения из комбинаторики). Аналогично вариантов, когда выполнены оба события, будет 
. Значит, вероятность того, что оба события произойдут, равна 
Но это же равно произведению вероятностей наступления каждого из событий: 
и 
.
Мы предположили, что знаем, что благоприятных исходов в первом и втором случаях – и соответственно. Но это два разных эксперимента. А что если впоследствии результат первого эксперимента повлияет на второй? Скажем, ученик первую контрольную написал на 2, после чего расстроился и вторую написал хуже, чем мог бы. Или, наоборот, лучше – если собрался. То есть события стали зависимы. А для наших выкладок важно иметь дело именно с независимыми событиями, отметим это.
Итак, мы доказали, что вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Разберем приведенный выше пример. Если вероятность сдать каждый экзамен равна 0,8 и если допустить, что экзамены сдаются независимо, имеем, что вероятность сдачи обоих равна 0,64. Повторимся: это верно только в том случае, когда мы считаем, что оценки за экзамены получаются независимо друг от друга.
Ответ: 0,64.
Задача 4
Предположим, что мы дважды подбросили монетку. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?
Дано: 
Найти: 
Решение:
Предполагается, что монетка нормальная, то есть вероятность орла и решки – по 0,5. Но тогда вероятность двух орлов будет 0,25, так как события – независимые.
Это работает и для нескольких опытов, не только для двух. Например, вероятность трех орлов подряд будет 0,125, а вероятность ста орлов – 
!
Это иногда называется принципом суперпозиции.
Ответ: 0,25.
Аналогичный принцип суперпозиции верен и для непересекающихся исходов в случае одного эксперимента:
Если вероятность получения тройки – 0,2, четверки – 0,2, пятерки – 0,1, то вероятность получить хотя бы тройку будет равна:
Заключение
Вы еще не поняли, как же отличить, когда вероятности складывать, а когда перемножать? Очень просто! Если речь идет о двух итогах одного опыта – складываем. А если о двух разных опытах – перемножаем!
Пересекающиеся события
Предположим, что есть события и , которые могут произойти в результате одного опыта, при этом их пересечение не пусто. Например, если мы подбрасываем кубик, то благоприятных исходов для события «число четно» – 3, для события «число делится на 3» – 2, но для события «число четно либо делится на 3» – не 5, так как есть исход 6, для которого выполняются оба события. Тогда мы знаем, что:
Это можно проиллюстрировать диаграммой, так называемой диаграммой Эйлера-Венна (см. Рис. 1).
Рис. 1. Пересечение событий и
Если объединить те исходы, которые благоприятствуют 
и те, которые благоприятствуют , мы дважды посчитаем те исходы, которые благоприятствуют и . Значит, для подсчета благоприятных исходов к наступлению или нужно сложить благоприятные исходы для и для , после чего вычесть благоприятные исходы для пересечения и .
То же самое и с вероятностями, ведь к вероятностям мы переходим обычным делением на общее количество исходов.
Получаем формулу:
.
Например, посчитаем вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 3 либо на 5. Всего чисел – 900. Чисел, делящихся на 3, – 300 (
). Чисел, делящихся на 5, – 180 (
). А чисел, делящихся на 3 и на 5, то есть чисел, делящихся на 15, – 60.
Решение:
Значит, 
Ответ: 
.
Список литературы
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа 11 класс. – М.: 2007. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, Алгебра 11 класс. – М.: 1998 г. – 271 с. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)
2. Математический форум Math Help Planet (Источник)
3. Интернет-сайт "Математика, которая мне нравится" (Источник)
Домашнее задание
1. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
2. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3, а на красной игральной кости выпадет число 4.
