06. Произведение и сумма вероятностей. Примеры

Задача 1

Начнем с задачи.

Предположим, что вероятность получения вами пятерки за контрольную равна 0,5, а четверки – 0,3. Какова вероятность того, что за контрольную вы получите 4 или 5?

Некоторые сразу выпалят: «0,8», но почему именно так? Почему, например, не 0,15 (перемножили, а не сложили)? Разберемся.

Предположим, есть некоторый опыт, у которого есть  исходов. Из них наступлению события  благоприятны , а событию  – . Нетрудно по формуле найти вероятности наступления каждого из событий – это соответственно  и . Но какова вероятность того, что наступит либо первое событие, либо второе? Иначе говоря, мы ищем вероятность объединения этих событий. Для этого надо выяснить, сколько у нас благоприятных исходов. ? Не совсем. Ведь может случиться так, что эти события выполнятся одновременно.

Тогда предположим, что события непересекающиеся, то есть не могут выполняться одновременно. Вот тогда получаем, что благоприятных исходов для объединения – . Значит, вероятность объединения будет равна:

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обратим внимание: здесь речь идет об ОДНОМ эксперименте, в результате которого может наступить либо первое событие, либо второе, но не оба сразу.

В частности, в примере с контрольной мы понимаем, что ученик не может одновременно получить за контрольную и 5, и 4 (речь идет об одной оценке за одну и ту же контрольную), значит, вероятность того, что он получит 4 или 5, равна сумме вероятностей, то есть, все-таки, 0,8.

Ответ: 0,8.

А что делать, если события пересекаются, то есть существуют исходы, благоприятные для них обоих? Такая ситуация будет рассмотрена в конце урока.

Еще один пример.

Задача 2

По статистике футбольный клуб «Вымпел» побеждает в очередном матче с вероятностью 0,2, играет вничью с вероятностью 0,5 и проигрывает с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что «Вымпел» не проиграет следующий матч, если верить статистике?

В данном случае задачу можно решить двумя способами.

Можно применить нашу формулу, ведь если он не проиграет, то он либо сыграет вничью, либо выиграет. Значит, вероятность этого равна 0,7.

А можно решить иначе: раз вероятность того, что он проиграет, нам дана – 0,3, то вероятность того, что он не проиграет, равна .

Как видите, ответы совпали.

Ответ: 0,7.

Задача 3

Произведение вероятностей

Предположим, что мы провели два разных опыта. Например, ученик написал два экзамена, и каждый из них он сдал на 5 с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что он сдал на 5 оба экзамена?

По аналогии некоторые из вас готовы к 0,8 прибавить 0,8 – это будет 1,6. Многовато для вероятности. Впрочем, если присмотреться, здесь совсем другая ситуация!

Если раньше мы имели дело с двумя непересекающимися событиями для одного эксперимента, то сейчас речь идет об исходах двух экспериментов. А кроме того, раньше мы говорили об объединении (то или то), а сейчас – о пересечении (и то, и то).

Пусть есть первый эксперимент, у него есть  исходов,  из которых благоприятствуют первому событию, а кроме этого, есть второй эксперимент, у него есть  исходов,  из которых благоприятствуют второму событию. Тогда всего исходов у двух экспериментов –  (по правилу произведения из комбинаторики). Аналогично вариантов, когда выполнены оба события, будет . Значит, вероятность того, что оба события произойдут, равна 

Но это же равно произведению вероятностей наступления каждого из событий:   и .

Мы предположили, что знаем, что благоприятных исходов в первом и втором случаях –  и  соответственно. Но это два разных эксперимента. А что если впоследствии результат первого эксперимента повлияет на второй? Скажем, ученик первую контрольную написал на 2, после чего расстроился и вторую написал хуже, чем мог бы. Или, наоборот, лучше – если собрался. То есть события стали зависимы. А для наших выкладок важно иметь дело именно с независимыми событиями, отметим это.

Итак, мы доказали, что вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Разберем приведенный выше пример. Если вероятность сдать каждый экзамен равна 0,8 и если допустить, что экзамены сдаются независимо, имеем, что вероятность сдачи обоих равна 0,64. Повторимся: это верно только в том случае, когда мы считаем, что оценки за экзамены получаются независимо друг от друга.

Ответ: 0,64.

Задача 4

Предположим, что мы дважды подбросили монетку. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Дано:

Найти:

Решение:

Предполагается, что монетка нормальная, то есть вероятность орла и решки – по 0,5. Но тогда вероятность двух орлов будет 0,25, так как события – независимые.

Это работает и для нескольких опытов, не только для двух. Например, вероятность трех орлов подряд будет 0,125, а вероятность ста орлов – !

Это иногда называется принципом суперпозиции.

Ответ: 0,25.

Аналогичный принцип суперпозиции верен и для непересекающихся исходов в случае одного эксперимента:

Если вероятность получения тройки – 0,2, четверки – 0,2, пятерки – 0,1, то вероятность получить хотя бы тройку будет равна:

Заключение

Вы еще не поняли, как же отличить, когда вероятности складывать, а когда перемножать? Очень просто! Если речь идет о двух итогах одного опыта – складываем. А если о двух разных опытах – перемножаем!

Пересекающиеся события

Предположим, что есть события  и , которые могут произойти в результате одного опыта, при этом их пересечение не пусто. Например, если мы подбрасываем кубик, то благоприятных исходов для события «число четно» – 3, для события «число делится на 3» – 2, но для события «число четно либо делится на 3» – не 5, так как есть исход 6, для которого выполняются оба события. Тогда мы знаем, что:

Это можно проиллюстрировать диаграммой, так называемой диаграммой Эйлера-Венна (см. Рис. 1).

Если объединить те исходы, которые благоприятствуют , и те, которые благоприятствуют , мы дважды посчитаем те исходы, которые благоприятствуют  и . Значит, для подсчета благоприятных исходов к наступлению  или  нужно сложить благоприятные исходы для  и для , после чего вычесть благоприятные исходы для пересечения  и .

То же самое и с вероятностями, ведь к вероятностям мы переходим обычным делением на общее количество исходов.

Получаем формулу:

.

Например, посчитаем вероятность того, что случайно выбранное трехзначное число делится на 3 либо на 5. Всего чисел – 900. Чисел, делящихся на 3, – 300 . Чисел, делящихся на 5, – 180 . А чисел, делящихся на 3 и на 5, то есть чисел, делящихся на 15, – 60.

Решение:

Значит, 

Ответ:  .

Список литературы

А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа 11 класс. – М.: 2007. Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд, Алгебра 11 класс. – М.: 1998 г. – 271 с. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Социальная сеть работников образования nsportal.ru (Источник)

2. Математический форум Math Help Planet (Источник)

Домашнее задание

1. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

2. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3, а на красной игральной кости выпадет число 4.