Неопределённый интеграл

1. Повторение

Напоминание

Определение:

 – первообразная для , если .

Наша задача – найти первообразные.

Задача (дана , найти )

Решается по:

- таблице;

- трем правилам отыскания первообразных.

Приведем пример.

Пример:

Дано: . Найти .

Ответ:  (таблица).

Проверка:

 – тоже первообразная.

Таким образом, мы выяснили, что для данной функции существует не только первообразная , но и семейство первообразных .

Пример:

Дано: . Найти .

Ответ:  (таблица).

 – семейство первообразных.

Проверка: 

Заметим, что снова кроме одной первообразной имеем семейство первообразных.

2. Теорема

Теорема: Если  – первообразная для функции  на промежутке , то у функции  бесконечно много первообразных, и все они имеют вид .

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Т. е.  - первообразная для .

Мы доказали, что, имея одну из первообразных, мы имеем множество первообразных. Возможно, существует какая-то первообразная, которая не входит в это множество.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

То есть любая произвольная первообразная входит в данное множество первообразных.

Теорема доказана.

3. Другая формулировка этой же теоремы

Сделаем следующее замечание.

Мы использовали то, что если производная от функции равна 0, то эта функция является постоянной.

Мы рассмотрели важное свойство первообразных. Дадим ему другую формулировку.

Теорема: Любая первообразная функции  на промежутке  может быть записана в виде

, где  – одна из первообразных для функции  на промежутке ,  – произвольная постоянная.

Примеры:

а)                 б)

Найти: общий вид первообразных.

Ответ:

а) ;

б) .

4. Геометрический смысл этой теоремы

Рассмотрим геометрическую интерпретацию изученного свойства первообразных.

Графики любых двух первообразных функции  получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси .

Дано: . Найти первообразную, график которой проходит через точку .

Первообразных много, графиков много, а нужно найти именно тот, который проходит через точку  (Рис. 1).

Решение:

Рис. 1. График функции, проходящей через точку

Ответ: .

5. Неопределенный интеграл

Определение: Если функция  имеет на промежутке  первообразную , то множество всех первообразных, т. е. множество функций  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается

 – подынтегральная функция.

6. Таблица неопределенных интегралов

Можно получить таблицу неопределенных интегралов. Она получается из таблицы первообразных.

 

 

7. Свойства неопределенного интеграла

Если , то

8. Примеры

(

Мы познакомились с неопределенным интегралом. На следующем занятии мы начнем изучение определенного интеграла.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ru.wikipedia.org (Источник).
2. Mathprofi.ru (Источник).
3. Math24.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Вычислите интеграл .
2. Вычислите интеграл .
3. Вычислите интеграл .
4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 998–1001.