Основные числовые множества

Тема: Повторение

Урок: Основные числовые множества

1. Множество натуральных чисел

Напомним множество натуральных чисел:

Натуральных чисел бесконечно много.

Для данного числового множества справедливо утверждение «часть равна целому». Рассмотрим последовательности:  (только четные числа),

Оказывается, что размеры множеств натуральных чисел (), четных чисел (), чисел вида  одинаковы, так как между данными множествами можно установить взаимооднозначное соответствие.

Среди натуральных чисел различают простые и составные.

Определение:

Простыми называют числа, которые имеют только два различных делителя. Множество простых натуральных чисел , единица не входит в данное множество, так как имеет только один делитель.

Доказано, что простых чисел бесконечно много. Доказано следующим образом: предположим, что существует только k простых чисел. Рассмотрим их произведение и прибавим к нему единицу, имеем:  – простое число. Имеем противоречие, таким образом, доказано от противного, что простых чисел бесчисленное множество.

Напомним основную теорему арифметики и важные понятия НОД и НОК.

2. Основная теорема арифметики, понятия НОД и НОК

Теорема:

Любое натуральное число, начиная с двойки, можно разложить на произведение простых множителей, при чем единственным образом.

Где  – простые числа,

Например:

НОД – наибольший общий делитель.

Определение:

НОД двух чисел – это наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка оба заданных числа.

Чтобы найти НОД, нужно выписать все простые множители, на которые одновременно делятся оба числа.

Например:

НОК – наименьшее общее кратное.

Определение:

НОК двух чисел – это наименьшее натуральное число, которое делятся без остатка на оба заданных числа.

Чтобы найти НОК, нужно выписать старшие степени всех простых множителей, входящих в разложение заданных чисел.

Например:

[00: 05:13/3. Решение примеров]

Рассмотрим несколько задач.

Пример 1 – вычислить:

Мы помним, что для выполнения подобных вычислений необходимо привести дроби к общему знаменателю, для этого найти наименьший общий знаменатель, то есть, найти НОК заданных знаменателей. Для этого каждый знаменатель сначала разложим на множители:

Находим НОК согласно правилу:

Наименьший общий знаменатель получен, определяем дополнительные множители для числителей:

Следующая задача из ЕГЭ, группа С.

Пример 2 – сумма двух натуральных чисел равна 43. Их НОК в 120 раз больше, чем их НОД. Найти эти числа.

Следует обратить внимание, что сумма двух натуральных чисел – простое число. Пусть эти числа х и у, исходя из вышесказанного следует, что х и у не имеют общих множителей, кроме единицы. Таким образом, имеем:

Такие числа иначе называют взаимнопростыми. И поскольку мы выяснили, что заданные числа взаимнопростые, общих множителей не имеют, то получаем:

Таким образом, имеем систему:

Ответ: заданные числа – 40 и 3.

4. Множество целых чисел

Множество целых чисел.

Относительно множества натуральных чисел, в этом множестве добавлены:

1. Нуль (в переводе – «никакой»)

2. Отрицательные числа

Следует отметить, что отрицательные числа многие считали ложными и не хотели их вводить в использование, сегодня же трудно представить отсутствие отрицательных чисел, так же как и отсутствие ноля. Что же такое ноль? Например, число семь – это характеристика множества, множество может состоять из семи звезд, семи молекул и т.д.. Так же любое число это характеристика множества, число ноль характеризует пустое множество, т.е. такое, в котором нет ни одного элемента.

Рассмотрим уравнение:

С подобными задачами мы встречались при разложении выражений на множители и умеем их решать. Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из выражений равно нулю, а второе при этом существует. Имеем:

Рассмотрим другое уравнение:

Такие уравнения мы тоже умеем решать, знаем, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Имеем:

Приведем простейшие примеры.

Пример 3 – решить уравнение:

а)

Первый корень не удовлетворяет ОДЗ, его следует отбросить.

Ответ:

5. Множество рациональных чисел

Далее в процессе изменения жизни пришлось делить целое на части, появились дроби – множество рациональных чисел.

Рассмотрим простейший пример.

Пример 4 – решить уравнение:

В правой части стоит бесконечная периодическая десятичная дробь.

Мы умеем решать подобные уравнения:

Чтобы выполнить деление, нужно периодическую десятичную дробь перевести в обычную. Для этого обозначим периодическую дробь за q. Имеем:

Вычтем из второго уравнения первое и бесконечные «хвосты» у дробей уничтожатся:

В результате преобразования получено уравнение:

6. Множество действительных чисел

После появления рациональных чисел долгое время считалось, что других чисел нет и быть не может, однако, оказалось, что это не так. Вот пример, доказывающий этот факт. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны по единице. Теорема Пифагора нам известна и мы можем вычислить гипотенузу треугольника:

Получено не рациональное число, нельзя подобрать числа m и n такие, что:

Докажем данный факт от противного. Предположим, что такая дробь все таки существует, тогда имеем:

Возведем полученное равенство в квадрат:

Заметим, что дробь  несократима.

Имеем: левая часть кратна двум, значит,  кратно двум и m кратно двум. Второе m тоже кратно двум, отсюда  кратно четырем. В левой части только одна двойка, значит n кратно двум, имеем противоречие – дробь получилась сократимой. Таким образом, мы доказали, что  – иррациональное число.

Рассмотрим еще один пример – бесконечную десятичную дробь:

Конечно, хорошо было бы доказать, что данная дробь не имеет периода. Номы примем этот факт без доказательства, так, имеем еще одно иррациональное число.

После того, как к множеству рациональных чисел добавились все иррациональные числа, получилось множество действительных чисел.

Только теперь установилось взаимооднозначное соответствие между всеми действительными числами и всеми точками на координатной прямой. Если есть точка, то есть соответствующее ей число, при чем единственное. Если есть число, то есть соответствующая ему точка на оси.

Итак, мы рассмотрели основные числовые множества. Далее перейдем к повторению функций.

 

Список рекомендованной литературы:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Grandars.ru (Источник).

2. Егэ по математике (Источник).

3. Учеба-Легко (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание:

1. Составьте примеры основных числовых множеств, приведите примеры нечисловых множеств.

2. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Переведите бесконечную периодическую дробь в обычную:

а) ; б) ; в) ; г) ;