После появления рациональных чисел долгое время считалось, что других чисел нет и быть не может, однако, оказалось, что это не так. Вот пример, доказывающий этот факт. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник, катеты которого равны по единице. Теорема Пифагора нам известна и мы можем вычислить гипотенузу треугольника:

Получено не рациональное число, нельзя подобрать числа m и n такие, что:

Докажем данный факт от противного. Предположим, что такая дробь все таки существует, тогда имеем:

Возведем полученное равенство в квадрат:

Заметим, что дробь несократима.

Имеем: левая часть кратна двум, значит, кратно двум и m кратно двум. Второе m тоже кратно двум, отсюда кратно четырем. В левой части только одна двойка, значит n кратно двум, имеем противоречие – дробь получилась сократимой. Таким образом, мы доказали, что – иррациональное число.

Рассмотрим еще один пример – бесконечную десятичную дробь:

Конечно, хорошо было бы доказать, что данная дробь не имеет периода. Номы примем этот факт без доказательства, так, имеем еще одно иррациональное число.

После того, как к множеству рациональных чисел добавились все иррациональные числа, получилось множество действительных чисел.

Только теперь установилось взаимооднозначное соответствие между всеми действительными числами и всеми точками на координатной прямой. Если есть точка, то есть соответствующее ей число, при чем единственное. Если есть число, то есть соответствующая ему точка на оси.

Итак, мы рассмотрели основные числовые множества. Далее перейдем к повторению функций.

Список рекомендованной литературы:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1. Grandars.ru (Источник).

2. Егэ по математике (Источник).

3. Учеба-Легко (Источник).

Рекомендованное домашнее задание:

1. Составьте примеры основных числовых множеств, приведите примеры нечисловых множеств.

2. Решите уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Переведите бесконечную периодическую дробь в обычную:

а) ; б) ; в) ; г) ;