Корни n-й степени из действительного числа. Задачи

1. Определения корня n-й степени для четного и нечетного n

Напомним и прокомментируем основные определения.

Определение:

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

, где ,

Рис. 1. График функций  и

Уравнение имеет 2 корня:  и .

Данная функция, как и любая другая, преследует две задачи. Прямая задача: по заданному значению х, подставив его в функцию, найти значение у. Обратная задача: по заданному значению у (у только неотрицательное) определить значение х, при этом получаем два корня, один из которых неотрицательный и носит название арифметического корня.

Напомним важное тождество:

Рассмотрим примеры:

1.      , т. к. ; 2.

Мы рассмотрели корень четной степени из действительного числа, и в этом случае подкоренное число а обязано быть неотрицательным. Но оно может быть отрицательным в том случае, если степень корня нечетная.

Определение:

Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при  называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Рис. 2. График функции , где

Данная функция  имеет единственное решение, то есть достигает любого своего значения при единственном значении аргумента, причем если значение функции отрицательное, то и соответствующее ему значение аргумента тоже отрицательное, и наоборот, положительному значению функции соответствует положительное значение аргумента.

Рассмотрим примеры:

, т. к. ; 2. , т. к. ;

2. Следствия из определений

Рассмотрим важные следствия из определений.

Следствие 1:

Корень четной степени неотрицателен и существует только от неотрицательного числа.

Примеры:

, т. к. ; 2.  не существует, т. к. ; 3. , нет решений, т. к. поскольку существует выражение , то оно неотрицательное; 4. , т. к. ;

Следствие 2:

Корень нечетной степени существует для любого действительного числа а .

Примеры:

, т. к. ; 2. , т. к. ; 3. , т. к. ;

3. Определение иррационального уравнения, простейшие примеры

Рассмотренные определения и следствия применяются при решении различных задач, в том числе иррациональных уравнений.

Определение:

Уравнение, в котором под знаком корня содержится неизвестное, называется иррациональным.

Примеры:

1.      , , ; ответ: ;

2.      ; ответ: ;

3.     

ответ:

4.      ; ответ:

Рассмотрим более сложные выражения, а именно уравнения вида . Чтобы решать подобные уравнения, нужно обе части возводить в квадрат, но для этого нужно выполнение некоторых условий и соблюдение ограничений. Значение квадратного корня должно быть неотрицательным, отсюда . Подкоренное выражение также должно быть неотрицательно, т. е. . После преобразования получаем

Исходя из последнего равенства выражение  в эквивалентной системе излишне, таким образом, получаем эквивалентную для уравнения  систему:

Получили смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенства. В подобных случаях решать неравенство необязательно, достаточно решить уравнение и его корни проверить по первому условию (неравенству).

Пример:

Решим первым способом, то есть с помощью эквивалентной системы:

Преобразуем уравнение:

Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:

Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ .

Решим вторым способом, возведем обе части в квадрат, не накладывая никаких дополнительных условий:

Получили квадратное уравнение:

Корни данного уравнения мы уже определили:

Выполним проверку, подставив каждый корень в исходное уравнение:

Квадратный корень не может иметь отрицательное значение, значит, корень  не подходит, не является решением заданного уравнения.

Получили ответ:

Выполним небольшой анализ, чтобы в дальнейшем предостеречься от типовых ошибок.

а) , т. е. из равенства квадратов чисел еще не следует равенство самих чисел;

б) , т. е. из равенства квадратов не всегда следует равенство исходных чисел;

Вывод: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.

4. Решение более сложных иррациональных уравнений

Пример:

Решаем первым способом:

Преобразуем уравнение:

Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:

Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ .

Рассмотрим пример уравнения на корень нечетной степени:

Возводим обе части в куб:

Разложим выражение на множители:

7x(х² - 1) = 7х(х - 1)(х + 1) = 0

Приравняв каждый множитель к нулю, получаем корни заданного уравнения: , ,

Итак, на данном уроке мы повторили определения для корня n-ой степени из действительного числа, решили некоторые задачи и уравнения. На следующем уроке мы ознакомимся с функциями .

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).
2. Uztest.ru (Источник).
3. Schoolife.ru (Источник).

         

Домашнее задание

1)      Определите знак разности:

а) ; б) ; в) ; г)

2)      Найдите ошибку в рассуждениях:

а) ; б)

3)      Решите уравнения:

а) ; б) ; в)