Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют.

Пример 1 – найти максимум и минимум функции на интервале [1;8):

вычислим значения функции в концах заданного промежутка:

Теперь мы можем выписать ответ на основании того, что функция монотонно убывает.

, минимального значения нет, так как правая граница не включена в интервал.

Пример 2 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению рациональной степени:

Не забудем указать, что по определению

Строим график функции , для нас это стандартная кривая, она проходит через точку (1;1), убывает. После этого сдвигаем полученный график на одну единицу вверх, точка (1;1) переходит в точку (1;2) (рисунок 8)

Читаем полученный график: если аргумент возрастает от нуля (не включая) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до единицы (не включая).

Рис. 8. Построение графика функции

Пример 3 – построить и прочесть график функции:

Преобразуем заданную функцию по определению степени с рациональным показателем:

Нам известен график функции , построим его. Полученная кривая возрастает и проходит через точку (1;1), поскольку показатель степени больше единицы – кривая выпукла вниз. Сдвинем построенную кривую на две единицы вправо (получаем график функции ) и на одну единицу вверх – получаем искомый график (рисунок 9)

Прочтем полученный график:

При возрастании аргумента от двух до бесконечности функция возрастает от единицы до бесконечности.

Пример 4 – построить и прочесть график функции:

В данном случае функция задана кусочно.

Напомним, что такое модуль, раскроем его по определению:

Итак, строим график функции . Имеем две ветки: и . После этого строим стандартную кривую на интервале (Рисунок 10)

Прочтем график построенной функции:

Если аргумент возрастает от минус бесконечности до нуля, функция убывает от бесконечности до нуля. Когда аргумент возрастает от нуля до единицы, функция также возрастает от нуля до единицы. Наконец, когда аргумент возрастает от единицы не включительно до плюс бесконечности, функция убывает от единицы не включительно до нуля не включительно.

Рис. 9. Построение графика функции

Рис. 10. График кусочно заданной функции

Пример 5 – найти значения параметра, при котором уравнение а) имеет хотя бы одно решение; б) имеет только одно решение:

График заданной функции мы уже построили в предыдущем примере. Теперь рассечем его семейством прямых и найдем количество точек пересечения для каждого случая.

Выполним рассечение (рисунок 11).

Рис. 11. Рассечение графика прямыми

При уравнение имеет три решения; при уравнение имеет единственное решение

Ответ: при уравнение имеет хотя бы одно решение, при уравнение имеет единственное решение.

Итак, мы рассмотрели степенные функции, их свойства и графики. На следующем уроке мы перейдем к дифференцированию и интегрированию степенных функций.

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Uztest.ru (Источник).
Edu.glavsprav.ru (Источник).
Pm298.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале:

а) ; б) ; в) ; г)

2. Построить и прочесть график функции:

а) ; б); в); г)

3. Решите уравнение с параметром: