Напомним основные сведения о квадратичной функции.

Определение:

Квадратичной функцией называется функция вида , где

Здесь х – зависимая переменная, а, b, с – тройка чисел, которые определяют данную квадратичную функцию, у – зависимая переменная;

Чтобы найти корни квадратичной функции, игрек приравнивают к нулю, и если корни существуют, то они вычисляются по формуле:

– дискриминант квадратного уравнения;

График квадратичной функции – это парабола, причем если , то ветви параболы направлены вверх.

У каждой параболы есть вершина. Координаты вершины () вычисляются по формулам:

При работе с квадратичной функцией необходимо выделять полный квадрат. После выделения полного квадрата квадратичная функция выглядит следующим образом:

Теорема Виета (прямая):

Если и – корни квадратного уравнения, то они связаны с коэффициентами квадратного уравнения следующим образом:

Если известны корни квадратного уравнения, то квадратный трехчлен можно следующим образом разложить на множители:

Кроме того, существуют интервалы знакопостоянства функции. Внутри интервала корней функция одного знака, вне интервала корней функция другого знака.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:

Корни данного квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения существуют, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. когда дискриминант больше либо равен нулю.

Когда дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня.

Когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет два совпадающих корня, которые совпадают с вершиной параболы:

Ответ: при уравнение не имеет решений; при ; при

Итак, мы видим специфику квадратного уравнения: оно может иметь один корень, два корня или не иметь корней.

Квадратичную функцию с параметром можно представить в следующем виде:

Здесь t – параметр. Если мы зададим конкретное значение параметра t, то мы зададим тройку чисел, определяющих конкретную квадратичную функцию. Как мы видим, параметр – это управление, он управляет всей кривой, в частности, расположением корней.

Пример 2 – решить уравнение с параметром:

В данном случае при стоит параметр t, значит, заданное уравнение может быть как квадратным, так и линейным. Рассмотрим два случая:

Теперь рассмотрим квадратное уравнение с параметром:

Получили квадратное уравнение. Решаем его любым способом и получаем корни:

Таким образом, имеем:

Наличие корней в квадратном уравнении зависит от знака дискриминанта, мы выяснили, что в данном случае дискриминант есть квадратичная функция от t. Данную функцию легко исследовать. Проиллюстрируем:

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

Очевидно, что внутри интервала корней дискриминант отрицателен, вне интервала корней – положителен. Теперь легко можем дать ответ к поставленной задаче.

Ответ: при ; при ; при ; при: при