Квадратичная функция в задачах с параметром

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Квадратичная функция в задачах с параметром

1. Суть решения задач с параметром, квадратичная функция

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например, уравнение  или неравенство  с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Применительно к данной теме все преобразования будут выполняться с учетом свойств квадратичной функции.

 

2. Квадратичные уравнения с параметром

Напомним основные сведения о квадратичной функции.

Определение:

Квадратичной функцией называется функция вида  , где

Здесь х – зависимая переменная, а, b, с – тройка чисел, которые определяют данную квадратичную функцию, у – зависимая переменная;

Чтобы найти корни квадратичной функции, игрек приравнивают к нулю, и если корни существуют, то они вычисляются по формуле:

 – дискриминант квадратного уравнения;

График квадратичной функции – это парабола, причем если , то ветви параболы направлены вверх.

У каждой параболы есть вершина. Координаты вершины () вычисляются по формулам:

При работе с квадратичной функцией необходимо выделять полный квадрат. После выделения полного квадрата квадратичная функция выглядит следующим образом:

 

Теорема Виета (прямая):

Если  и  – корни квадратного уравнения, то они связаны с коэффициентами квадратного уравнения следующим образом:

Если известны корни квадратного уравнения, то квадратный трехчлен можно следующим образом разложить на множители:

Кроме того, существуют интервалы знакопостоянства функции. Внутри интервала корней функция одного знака, вне интервала корней функция другого знака.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:

Корни данного квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения существуют, когда подкоренное выражение неотрицательно, т. е. когда дискриминант больше либо равен нулю.

Когда дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня.

Когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет два совпадающих корня, которые совпадают с вершиной параболы:

Ответ: при  уравнение не имеет решений; при  ; при  

Итак, мы видим специфику квадратного уравнения: оно может иметь один корень, два корня или не иметь корней.

Квадратичную функцию с параметром можно представить в следующем виде:

Здесь t – параметр. Если мы зададим конкретное значение параметра t, то мы зададим тройку чисел, определяющих конкретную квадратичную функцию. Как мы видим, параметр – это управление, он управляет всей кривой, в частности, расположением корней.

Пример 2 – решить уравнение с параметром:

В данном случае при  стоит параметр t, значит, заданное уравнение может быть как квадратным, так и линейным. Рассмотрим два случая:

Теперь рассмотрим квадратное уравнение с параметром:

Получили квадратное уравнение. Решаем его любым способом и получаем корни:

Таким образом, имеем:

Наличие корней в квадратном уравнении зависит от знака дискриминанта, мы выяснили, что в данном случае дискриминант есть квадратичная функция от t. Данную функцию легко исследовать. Проиллюстрируем:

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции

Очевидно, что внутри интервала корней дискриминант отрицателен, вне интервала корней – положителен. Теперь легко можем дать ответ к поставленной задаче.

Ответ: при ; при ; при ; при: при  

 

3. Квадратичные неравенства с параметром

Пример 3 – найти значения параметра, при которых неравенство выполняется при любых значениях х:

Решение основано на свойствах функции, стоящей в левой части, данная функция зависит от х и от параметра а.

Поведение функции зависит от старшего коэффициента а. Рассмотрим возможные варианты:

1. . Имеем параболу, направленную ветвями вниз. В зависимости от значения дискриминанта заданного квадратного уравнения, парабола может находиться полностью под осью х (неравенство не выполняется ни при каких х), касаться ее в вершине (неравенство не выполняется ни при каких х), или пересекать в корнях уравнения, в этом случае внутри интервала корней функция положительна и неравенство выполняется, но вне интервала корней функция отрицательна и неравенство не выполняется.

2. . Подставив в заданное неравенство, получаем: , поставленная задача не выполняется.

3. . Имеем параболу, направленную ветвями вверх. В зависимости от значения дискриминанта заданного квадратного уравнения, парабола может находиться полностью над осью х (неравенство выполняется всегда), касаться ее в вершине (неравенство не выполняется в вершине параболы), или пересекать в корнях уравнения, в этом случае внутри интервала корней функция отрицательна и неравенство не выполняется.

Таким образом, нас удовлетворят положительные значения параметра, при которых уравнение не имеет корней, т. е. его дискриминант отрицателен:

Имеем квадратное неравенство:

Исследуем полученное квадратное уравнение:

Имеем параболу, направленную ветвями вверх, ее значения положительны вне интервала корней: . Нас интересуют только положительные значения параметра.

Ответ: при  неравенство выполняется при любых значениях х.

Итак, мы рассмотрели решение различных задач с параметром и квадратичной функцией, привели примеры и показали технику решения.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Параметры (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение с параметром:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Найти значения параметра, при которых неравенство не имеет решений при любых значениях х:

3. Найти значения параметра, при которых неравенство имеет единственное решение при любых значениях х: