01. Числовые и алгебраические выражения (Г. Г. Гаицгори)
8 мин
02. Действия с числовыми и алгебраическими выражениями (Г. Г. Гаицгори)
14 мин
03. Линейное уравнение с одной переменной (Г. Г. Гаицгори)
17 мин
04. Математический язык и математическая модель (Г. Г. Гаицгори)
19 мин
05. Координатная плоскость (Г. Г. Гаицгори)
14 мин
06. Что такое функция?
18 мин
07. Линейная функция (Г. Г. Гаицгори)
15 мин
08. Системы линейных уравнений с двумя переменными (Г. Г. Гаицгори)
31 мин
09. Практика. Линейные уравнения и их системы
26 мин
10. Степень с натуральным показателем (Г. Г. Гаицгори)
16 мин
11. Одночлены (Г. Г. Гаицгори)
24 мин
12. Многочлены
22 мин
13. Формулы сокращённого умножения
27 мин
14. Разложение многочленов на множители
21 мин
15. Практика. Степени, одночлены, многочлены
27 мин
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы вспомним, что такое координатная плоскость и координаты точки. Поговорим о декартовой (прямоугольной) системе координат и научимся определять координаты точки и строить точки по заданным координатам.
У чисел есть основные функции:
Задают порядок (например, нумерация вагонов: -й вагон, -й вагон, -й вагон).
Задают количество (например, «в поезде вагонов» или «мы купили яблок»).
Задают имя (например, номер автомобиля или телефона).
Но чаще всего числа выполняют несколько функций одновременно. Так, места в кинотеатре нумеруются и числа являются именами для каждого места.
Но вместе с тем использование чисел упрощает поиск места благодаря тому, что числа задают порядок и количество: если вы возле -го кресла в ряду, то знаете, что через кресел будет -е.
Представьте, насколько сложнее было бы искать место, если бы кресла в кинотеатре были обозначены картинками или даже подписаны пофамильно.
Обратите внимание, что для нумерации кресел в зале используют именно числа. Так определить место будет удобнее. Представьте, что в кинотеатре все места будут просто пронумерованы от до – поиск своего места всё равно будет затруднительным.
Итак, у каждого кресла есть имя (адрес), состоящий из двух чисел: номер ряда и номер кресла в ряду. Точки на глобусе тоже задаются двумя числами – долготой и широтой. Это адрес географической точки, её географические координаты (рис. 3).
Таким образом, адрес или координаты точки – это числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект.
Математиками была разработана удобная модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (точнее, расположение мест в этом зале). Такая модель получила название координатная плоскость.
Вы уже знакомы с тем, как это делают на прямой. Для вычисления расстояний на прямой и задания порядка на ней вводят ось координат (рис. 4).
Выбирают – начало координат.
Выбирают направление.
Выбирают единичный отрезок.
Тогда каждой точке можно присвоить свою координату (расстояние от неё до нуля с соответствующим знаком).
И точно так же по любой координате можно восстановить точку.
Т. е. на прямой нам достаточно одного числа, чтобы определять положение точки. На плоскости одного числа уже не хватает. Почему?
Пусть нам известно, что мы отъехали от города на км. В таком случае мы не можем точно определить своё положение, но мы знаем, что находимся на окружности с центром в городе и радиусом км.
Чтобы задать положение машины точно, нужно ещё задать направление, в котором мы ехали.
То есть нужно второе число.
Присвоить каждой точке на плоскости имя из двух чисел можно разными способами. Остановимся подробно на уже известном нам способе – прямоугольной системе координат.
Она состоит из двух взаимно перпендикулярных осей (отсюда название – прямоугольная): икс и игрек (ось абсцисс и ось ординат).
Указав по каждой из осей координату, мы можем однозначно восстановить точку на плоскости (как ряд и место в кинотеатре).
Такую систему координат называют декартовой, в честь учёного Рене Декарта, который её придумал.
Другие системы координатЧтобы присвоить точке числовой адрес (её координаты), используются и другие системы координат.
Есть несколько причин для использования различных систем координат, а именно:
1. Размерность.
На этом уроке мы рассматриваем прямоугольную систему координат на плоскости.
Точка на плоскости однозначно задаётся двумя числами. В таком случае говорят, что размерность плоскости равна А вот у прямой – другая размерность, равная
Точка на прямой может менять свое положение только в одном направлении (двигаться вперед-назад, вверх-вниз). В качестве примера можно привести движение автомобиля по ровной дороге или движение лифта.
Для указания местоположения точки нужна только одна координата. Эта координата будет обозначать то расстояние, которое проехал автомобиль (рис. 3), или этаж, на котором находится лифт.
В математике такая система координат называется числовой или координатной осью.
Размерность пространства может быть и больше, например, (пространство, в котором мы живем, имеет три измерения). Для указания места положения точки в этом случае нужны координаты. Например, если в высотном здании на каждом этаже находится кинотеатр, то для указания места в билете должны быть указаны три координаты – этаж, ряд, номер кресла. Такая система координат строится точно так же, как на плоскости, только добавляется третья ось (ось аппликат).
2. Цель использования.
В нашем примере мы устанавливали положение автомобиля с помощью расстояния до города и направления движения. На самом деле мы использовали полярную систему координат. В полярной системе координат есть точка отсчёта – начало координат и направление отсчёта.
Для того чтобы задать точку, мы указываем расстояние до начала координат и угол отклонения от направления отсчёта.
Если на плоскости задать одновременно и полярную, и декартову системы координат, то можно выразить декартовы координаты и через полярные и и наоборот.
Т. е. все системы координат на плоскости эквивалентны, мы можем от одной перейти к другой.
Итак, прямоугольная система координат широко используется в математике, но не является единственной.
Координатные оси разбивают плоскость на четыре части – координатные четверти. Порядковые номера четвертей принято считать против часовой стрелки.
Если точка имеет положительную координату и положительную координату , то она лежит в I четверти.
Если точка имеет отрицательную координату и положительную координату , то она лежит во II четверти.
Если точка имеет отрицательную координату и отрицательную координату , то она лежит в III четверти.
Если точка имеет положительную координату и отрицательную координату , то она лежит в IV четверти.
Пример 1. Определить координаты точек и
Решение:
На рисунке показана точка на координатной плоскости. Для того чтобы найти координаты этой точки, необходимо через точку провести две прямые, параллельные координатным осям (они обозначены пунктирной линией).
Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата точки а пересечение другой прямой с осью ординат – это координата точки Сначала указывают координату потом
Точка имеет координаты .
Аналогично находим координаты точки она имеет координаты .
Ответ:
Можно сделать всё и в обратном порядке. То есть изобразить точку на плоскости по известным координатам.
Рассмотрим несколько примеров работы в декартовой системе координат.
Пример 2. Построить точки по заданным координатам .
Решение:
Для построения точки необходимо отложить число на оси и провести перпендикулярную прямую (рис. 18), а на оси отложить число и провести перпендикулярную оси прямую.
На пересечении перпендикуляров получим точку с координатами .
Для построения точки необходимо отложить на оси число и провести перпендикулярную оси прямую, а на оси отложить число (переместиться на в отрицательном направлении, вниз) и провести перпендикулярную оси прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку с координатами .
Пример 3. Построить точки по заданным координатам .
Решение:
Для построения точки необходимо отложить число на оси Координата равна нулю, следовательно, точка лежит на оси
Для построения точки необходимо отложить число на оси Координата равна нулю, следовательно, точка лежит на оси
Таким образом, если нулю равна координата то точка лежит на оси а если нулю равна координата то точка лежит на оси
ПрактикаЗадание 1. Определить координаты точек и .
Решение:
Возьмем для начала точку . Опускаем прямую, перпендикулярную оси Эта прямая пересекает ось в точке
Теперь опускаем прямую, перпендикулярную оси она пересекает ось в точке
Точка имеет координаты .
Переходим к точке . Точно так же опускаем прямую, перпендикулярную оси Она пересекает ось в точке . Опускаем прямую, перпендикулярную оси Прямая пересекает ось в точке . Точка имеет координаты .
Переходим к точке . Опускаем прямую, перпендикулярную оси Эта прямая пересекает ось в точке Теперь опускаем прямую, перпендикулярную оси она пересекает ось в точке . Точка имеет координаты .
Ответ:
Задание 2.
Отметить точки на координатной плоскости.
Решение:
Первая координата по оси абсцисс у точки – это число Находим на оси точку проводим через неё перпендикулярную оси прямую.
Второй координатой точки является число . Значит, находим на оси точку , проводим через неё прямую, перпендикулярную оси
На пересечении перпендикуляров получим точку с координатами .
Теперь отметим точку Находим первую координату точки на оси и проводим через неё прямую, перпендикулярную оси Затем находим точку (вторую координату точки ), проводим через неё прямую, перпендикулярную оси На пересечении перпендикуляров получим точку с координатами .
Задание 3. Определить, в какой четверти находится точка .
Решение:
Координаты у точки – числа большие, и искать их на координатной плоскости будет сложно и не нужно.
Вспомним, что все четверти координатной плоскости определяются знаком каждой из координат.
У точки первая координата – отрицательная . Значит, точка находится слева от оси т. е. либо во II, либо в III четверти.
Координата точки – положительная. Значит, точка находится в верхней полуплоскости, т. е. сверху от оси
Если точка находится слева от оси и сверху от оси значит, она находится в левом верхнем углу, т. е. во II четверти.
Ответ: II четверть.
Заключение
На этом уроке мы вспомнили, что такое координатная плоскость и декартова система координат, научились отмечать точки на координатной плоскости, зная их координаты. Также мы научились по изображению точки определять её координаты и потренировались определять координатные четверти, в которых лежат точки.
Список рекомендованной литературы
Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013.
Полезные ссылки
Проверь себя
1. Построить точки по заданным координатам:
.
2. Определить координаты точек по рисунку.
3. Определить четверти, в которых лежат следующие точки:
.
"