В математике мы чаще будем работать с одним из видов функций – числовыми функциями. Числовая функция – это функция, областью определения и областью значений которой являются числовые множества. Например, функция пройденного пути в зависимости от времени (при равномерном движении): . Такая функция является числовой.

Числовые функции можно задавать разными способами.

Словесный.
Аналитический.
Графический.
Табличный.

В рассмотренном выше примере мы задали функцию с помощью формулы, такое способ задания называется аналитическим. Рассмотрим другой пример. Каждому числу поставим в соответствие его квадрат. Это функция. На самом деле это будет функция площади квадрата в зависимости от длины его стороны: (если мы оговорим, что ).

Мы будем изучать различные числовые функции. Что вообще можно в них изучать? У функций могут быть наибольшие и наименьшие значения – максимумы и минимумы, функции могут возрастать и убывать и т.д. Все эти свойства функций помогают решать конкретные прикладные задачи (например, нахождение оптимальных параметров, при которых та или иная величина достигает своего максимума – доход, эффективность и т.д., или минимума – расход, количество ошибок и т.д.). Но для того чтобы решать задачи, нужно выделить общие свойства функций и изучить их.

Повторим рассуждение, которое уже озвучивали в наших уроках. Есть заводы, которые создают различные инструменты. А дальше каждый сам использует созданные инструменты в своих целях: с помощью отвёртки можно закручивать и откручивать винты и шурупы, но можно ею же пытаться открыть дверь или забить гвозди. Так и математика – завод инструментальный, создаёт различные инструменты, которые потом могут использоваться в физике, экономике и других сферах для решения конкретных прикладных задач.

Естественные области определения и значений

В примере с площадью квадрата мы сказали, что . Т.е. наложили некоторое ограничение на область определения функции: . Получается, что и – это две различные функции? Да, именно так, потому что первая функция определена при неположительных значениях переменной (Рис. 1), а вторая – нет (Рис. 2).

Рис. 1. График функции

Рис. 2. График функции

То есть для задания функции, вообще говоря, недостаточно просто задать формулу соответствия. Необходимо ещё указать области определения и значений функции. Но чаще всего этого не делают, предполагая, что они естественные. Естественная область определения при аналитическом задании – это область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Пример 1.

Область определения:

Записывают так:

Пример 2.

Область определения:

Отсюда:

Естественная область значений – это множество значений, которые может принимать функция. Например, естественная область значений функции – это все числа больше либо равные . Записывают так: