06. Что такое функция?

В жизни мы часто исследуем не только сами объекты, но и отношения между ними (Петя дружит с Васей; платок лежит на столе, платок лежит под столом и т. д.). Эти отношения можно изучать. Об одном из таких отношений — соответствии между множествами — мы и поговорим на этом уроке.

Такие соответствия, если они удовлетворяют определенным условиям, называются функциями. В математике основное внимание уделяется числовым функциям, то есть соответствиям между числовыми множествами. Мы поговорим об области определения и области значений функции, какие существуют способы задания функций, рассмотрим примеры различных функций.

Отношения между объектами

Любой объект (стул, стол, собака, человек) может быть предметом исследования. Но исследовать можно не только сами объекты, но и отношения между ними. Мы часто рассуждаем об отношениях между людьми — дружбе, ненависти, любви. На них непосредственно нельзя указать, они неосязаемы, но вместе с тем мы говорим о них, описываем, прекрасно друг друга понимаем, когда слышим: «Петя дружит с Васей».

В жизни мы вводим отношения не только между людьми. Например, на карте есть два города A и Б — это два объекта. А расстояние между A и Б — это отношение между ними. На него уже нельзя указать пальцем. Или фраза: «Плед лежит на стуле». Плед и стул — это объекты, а вот «лежит на» — это уже отношение между пледом и стулом. Оказывается, мы можем изучать не только сами объекты, но и отношения между ними. Этим мы сейчас и займёмся.

Определение функции

У каждого человека есть размер обуви. Людей очень много, а размеров обуви мало. Если с одной стороны отметить всех людей (например, в виде точек), а с другой — существующие размеры обуви, то можно от каждой точки провести стрелку к одному из размеров обуви (Рис. 1) (в математике используют такую терминологию: можно отобразить множество людей на множество размеров обуви). Или, говоря по-другому, между этими множествами можно установить соответствие.

Можно установить и обратное соответствие: каждый размер обуви есть у некоторого подмножества людей (Рис. 2). 

Другой пример — обычные часы. Каждому времени суток соответствует какое-то определённое положение стрелок на этих часах. И, наоборот, каждое положение стрелок соответствует какому-то времени суток. Обратите внимание: во всех примерах мы рассматриваем не сами объекты (люди и обувь, время суток и стрелки часов), а новое понятие — отношение между объектами.

Итак, как видим, примеров разных отношений очень много. А как говорить о них точно? Все ли нужно изучать? И как это делать? Все отношения задают между множествами какое-то соответствие. Некоторые из соответствий особенные, они каждому элементу из одного множества ставят в соответствие ровно один элемент из другого множества. Такие соответствия, которые называются функциями, мы и будем изучать.

В наших примерах: у человека может быть только один размер обуви, каждому положению стрелок на часах соответствует лишь одно определённое время суток. А вот, например, 36 размер обуви может быть у большого количества людей. Поэтому такие соответствия функциями не будут.

Дадим строгое определение функции.

Функция — это соответствие между двумя множествами, такое, что каждому элементу одного множества  ставится в соответствие единственный элемент другого множества  .

Первое множество называют областью определения функции, а второе — областью значений функции. Обозначают:исоответственно.

Пример 1: задана функция, которая ставит в соответствие каждому человеку размер его обуви. Область определения функции— множество людей, область значений функции— множество размеров обуви.

Пример 2: задана функция, которая ставит в соответствие каждому дню месяца среднюю температуру воздуха. Область определения функции— множество дней месяца, область значений функции— множество температур (Рис. 3).

Числовая функция

В математике мы чаще будем работать с одним из видов функций — числовыми функциями. 

Числовая функция — это функция, областью определенияи областью значенийкоторой являются числовые множества.

Например, функция пройденного пути в зависимости от времени (при равномерном движении): Такая функция является числовой.

Числовые функции можно задавать разными способами.

1. Словесный.

2. Аналитический.

3. Графический.

4. Табличный.

В рассмотренном выше примере мы задали функцию с помощью формулы, такой способ задания называется аналитическим. Рассмотрим другой пример. Каждому числу поставим в соответствие его квадрат. Это функция. На самом деле это будет функция площади квадрата в зависимости от длины его стороны: (если мы оговорим, что ).

Мы будем изучать различные числовые функции. Что вообще можно в них изучать? У функций могут быть наибольшие и наименьшие значения — максимумы и минимумы, функции могут возрастать и убывать и т. д. Все эти свойства функций помогают решать конкретные прикладные задачи (например, нахождение оптимальных параметров, при которых та или иная величина достигает своего максимума — доход, эффективность и т. д., или минимума — расход, количество ошибок и т. д.). Но для того чтобы решать задачи, нужно выделить общие свойства функций и изучить их.

Повторим рассуждение, которое уже озвучивали в наших уроках. Есть заводы, которые создают различные инструменты. А дальше каждый сам использует созданные инструменты в своих целях: с помощью отвёртки можно закручивать и откручивать винты и шурупы, но можно ею же пытаться открыть дверь или забить гвозди. Так и математика — завод инструментальный, создаёт различные инструменты, которые потом могут использоваться в физике, экономике и других сферах для решения конкретных прикладных задач.

Графический способ задания функции

Анализировать функцию иногда легче, если построен её график. По нему часто легко определить, на каких промежутках функция убывает или возрастает, где у неё максимум и минимум и т. д. Таким образом, у графического способа задания функции (задание функции с помощью графика) и аналитического разные цели. Если сказать грубо, то аналитический способ более точный, он позволяет вычислить значение функции в любой точке и выполнять с функцией различные преобразования. Графический способ более наглядный: по графику можно сделать вывод о тех или иных свойствах функции.

Рассмотрим графический способ подробнее. График функции представляет собой совокупность точек, гдеи— соответствующие значения из областей определения и значений (Рис. 4).

График задаёт соответствие между множествамииили, что то же самое, задаёт функцию. При этом для изображения необходимо задать соответствующую систему координат. Чаще всего мы будем использовать декартову систему координат.

Рассмотрим функцию, заданную следующим графическим образом (Рис. 5).

Область определения функции — это все значения, при которых определена функция. Для рассматриваемой функции область определения функции — это все числа от до   включительно (Рис. 6).

Область значений функции — это все значения, которые принимает функция.

Для рассматриваемой функции область значений функции — это все числа отдо включительно (см. рис. 7):

Если строго, то область определения функции — это проекция графика на ось абсцисс, а область значений функции — проекция графика на ось ординат. Проекция — понятие, которое нам знакомо из геометрии. Слово неслучайно созвучно со словом прожектор (оба от латинского projectio — «бросание вперёд»). Если мы посветим на график функции прожектором следующим образом, то тень, которую мы увидим на экране,   — это проекция графика на ось, т. е. область значений функции (Рис. 8).

Аналогично тень на   будет проекцией графика на ось   (Рис. 9), т. е. область определения функции.

Линейные функции

Для задания числовых функций мы чаще всего будем использовать аналитический и графический методы, т. к. при использовании этих методов легче изучать свойства функций. Различные свойства функции мы будем изучать на протяжении всего курса алгебры, а сейчас рассмотрим несколько частных случаев функций. Вернёмся к функции пройденного пути при равномерном движении, т.е. , где — путь, — скорость,— время. Например, при скорости получим функцию Если  , то , если , то, если, то Мы видим, что при одинаковом изменении аргумента  , у нас одинаковое изменение значения функции — пройденного пути

Пример линейной функции: пусть  . Построим график этой функции. Нарисуем таблицу и заполним ее, т. е. при двух разных значениях   найдём, чему равен  . И по полученным значениям построим прямую на координатной плоскости.  

Итак, точки принадлежат графику функции. Отметим эти точки на плоскости и проведём через них прямую (Рис. 10).

Эта прямая и является графиком функции 

Нелинейные функции

Естественно, не все функции линейные. Например, мы знаем, что площадь квадрата зависит от его стороны следующим образом:Попробуем приблизительно построить её график по точкам. Поскольку сторона квадрата больше 0, то Значит, точкане принадлежит графику функции (точку«выкалывают», на графике обводят в кружок).

Снова нарисуем таблицу, возьмем некоторые значения   и найдём значения  при этих фиксированных значениях  .

Нарисуем эти точки на плоскости и посмотрим, какая линия через них проходит (Рис. 11).

Данная функция уже не является линейной, так как при увеличениина 1,  увеличивался на разные величины в зависимости от начального значения переменнойТакие функции называются нелинейными. Рассмотренная функция является примером квадратичной функции.

Сторона квадрата не может быть отрицательной или равной 0, поэтому обобщим и построим график функции   для любых значений аргумента. Построим график данной функции по точкам. Снова нарисуем таблицу, заполним её разными значениями   и посчитаем, чему равен   при каждом из этих значений  .

Отметим эти точки на плоскости и проведём кривую, которая проходит через них (Рис. 12). Полученный график называют параболой.

В общем виде квадратичная функция записывается так: , где — некоторые числа, 

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием функция (отношение между множествами объектов).

Для того чтобы определить функцию, необходимо задать три вещи: область определения функции, область значений функцииправило, по которому каждому элементу из первого множества ставится в соответствие единственный элемент второго (Рис. 13).

На уроках математики мы чаще всего будем обращаться к аналитическому и графическому способам. На следующем уроке мы более подробно изучим свойства одного типа функций, а именно — линейной функции.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал «ege-study.ru».

3. Интернет-портал «math-prosto.ru».

4. Интернет-портал «algebraclass.ru».

Проверьте себя

1. Площадь прямоугольника со сторонамииравна Выразить формулой зависимостьот Для значения аргумента найти соответствующее значение функции 

2. Функция задана формулой Найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному

3. Найти область определения функции: 

Список использованных источников:

Рис. 1–7, 1(1с), 2(1с), 1(2с), 1(3с)–4(3с), 10–13. Дизайнер Маханькова А.
Рис. 8, 9. Иллюстратор Семеркова Ю. В.