Введение. Зачем нужны координатная ось и координатная плоскость?
Координатная ось и координатная плоскость нужны для того, чтобы связать местность, точку пространства с числом или упорядоченной парой чисел. Такая связь используется давно. Например, на дороге ставят указатель расстояния до какого-либо объекта, месторасположение которого характеризуется одним числом. Математики разработали модель, удобную для описания любой прямолинейной дороги – это координатная ось. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчёта, масштаб и направление отсчёта (на прямой отмечаем точку 0 и точку 1 (см. Рис. 1)). Этим мы добились взаимооднозначного соответствия между точками и числами (например, числу 3 сопоставляется единственная точка A на координатной прямой, точке B сопоставляется единственное число -2 – координата этой точки).
Рис. 1. Координатная ось
Математиками также была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале), так как известно, что в билете указывается номер ряда и номер места, то есть пара чисел, в которой номера упорядочены. Такая модель получила название координатная плоскость. На данном уроке, тема которого: «Координатная плоскость. Терминология», мы рассмотрим координатную плоскость с прямоугольной системой координат.
Координатная плоскость. Основные сведения
Чтобы из обычной плоскости получить координатную с прямоугольной системой координат, необходимо провести две координатные оси, пересекающиеся в точках начала отсчёта. Горизонтальная ось называется ось абсцисс (направление отсчёта – слева направо), вертикальная – ось ординат (направление отсчёта – снизу вверх) (см. Рис. 2).
Любой точке M координатной плоскости сопоставляются два числа (две координаты): 
. Для получения этих координат необходимо через точку M провести две прямые, параллельные координатным осям. Одна прямая пересечёт ось абсцисс (ось X) в точке 
с координатами 
, вторая прямая пересечёт ось ординат (ось Y) в точке 
с координатами 
(см. Рис. 2).
Четыре прямых угла, образованных координатными осями, называются координатными углами.
Рис. 2. Координатная плоскость
Задача 1. Построение точек по заданным координатам
Построить точки по заданным координатам 
, 
.
Решение
Для построения точки M необходимо отложить единицу на оси X и провести перпендикулярную прямую; на оси Y откладываем число 3 и проводим перпендикулярную оси Y прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку M с координатами 
Для построения точки N необходимо отложить на оси X число 3 и провести перпендикулярную оси X прямую; на оси Y откладываем число 1 и проводим перпендикулярную оси Y прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку N с координатами 
(см. Рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Задачи на определение координатного угла
Задача 2
По знакам координат определить, в каком координатном углу находится точка.
а) 
причём 
.
Решение
Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку M (см. Рис. 4а).
Рис. 4а. Иллюстрация к задаче
Ответ: точка Mлежит во втором координатном углу (ΙΙ).
б) 
причём 
Решение
Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку N (см. Рис. 4б).
Рис. 4б. Иллюстрация к задаче
Ответ: точка N лежит в третьем координатном углу (ΙΙΙ).
в) 
причём 
Решение
Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку P (см. Рис. 4в).
Ответ: точка P лежит в четвёртом координатном углу (ΙV).
Рис. 4в. Иллюстрация к задаче
Задача 3
В каких координатных углах находятся точки?
а) С положительной ординатой – 
Решение
Построим координатную плоскость. Так как ордината точки больше нуля, а знак абсциссы не задан, то такая точка может лежать в первом (точка M) или втором (точка N) координатном углу (см. Рис. 5а).
Рис. 5а. Иллюстрация к задаче
Ответ: Ι, ΙΙ.
б) С отрицательной ординатой – 
Решение
Построим координатную плоскость. Так как ордината точки меньше нуля, а знак абсциссы не задан, то такая точка может лежать в третьем (точка M) или четвёртом (точка N) координатном углу (см. Рис. 5б).
Ответ: ΙΙΙ, ΙV.
Рис. 5б. Иллюстрация к задаче
в) С положительной абсциссой – 
.
Решение
Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки больше нуля, а знак ординаты не задан, то такая точка может лежать в первом (точка M) или четвёртом (точка N) координатном углу (см. Рис. 5в).
Рис. 5в. Иллюстрация к задаче
Ответ: Ι, ΙV.
г) С отрицательной абсциссой – 
.
Решение
Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки меньше нуля, а знак ординаты не задан, то такая точка может лежать во втором (точка M) или третьем (точка N) координатном углу (см. Рис. 5г).
Ответ: ΙΙ, ΙΙΙ.
Рис. 5г. Иллюстрация к задаче
Задачи на определение уравнения прямой
Задача 4
Постройте точки 
, 
, 
, 
, определите, на какой прямой они лежат.
Решение
Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек абсцисса одинаковая и равна 4, следовательно, они лежат на одной (вертикальной) прямой (см. Рис. 6), уравнение которой 
.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Ответ: все заданные точки лежат на прямой .
Задача 5
Постройте точки , 
, 
, определите, на какой прямой они лежат.
Решение
Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек ордината одинаковая и равна 3, следовательно, они лежат на одной (горизонтальной) прямой (см. Рис. 7), уравнение которой 
.
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Ответ: все заданные точки лежат на прямой .
Задача 6
По данным рисунка 8 напишите уравнения прямых и координаты точек их пересечения.
Решение
На рисунке видим, что абсцисса точки M равна 5, а ордината равна 4 (
). Аналогично находим координаты других точек: 
; 
; 
.
Уравнение прямой MK 
, так как ордината у любых точек этой прямой равна 4. Уравнение прямой NP 
, так как ордината у всех точек этой прямой равна -3. Уравнение прямой MN 
, так как абсцисса у всех точек этой прямой равна 5. Уравнение прямой KP 
, так как абсцисса у всех точек этой прямой равна -3.
Ответ:
; ; ; . (MK); (NP); (MN); (KP).
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Итоги урока
На этом уроке мы узнали, что такое координатная плоскость, способ её получения из обычной плоскости, а также решили типовые задачи.
Список литературы
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
- Clck.ru (Источник).
- Словари и энциклопедии на Академике (Источник).
Домашнее задание
- Как построить точку
? - Какие знаки имеют координаты точек во втором координатном углу?
- В какой четверти располагается точка
? - Постройте фигуру по заданным точкам:
- Отметьте на координатной плоскости точки
, 
; 
и 
. Проведите прямые МN и КР. Найдите координаты точки пересечения прямых.
