02. Координатная плоскость. Терминология (В. А. Тарасов)

Этот урок посвящён изучению координатной плоскости. Мы рассмотрим, для чего используются координатные оси и координатные плоскости, разберём основные сведения. Также на уроке мы узнаем способ получения координатной плоскости из обычной. А также решим задачи, в которых научимся строить точки по заданным координатам, определять координатные углы и находить уравнения прямых по координатам лежащих на данной прямой точек.

Введение. Для чего используются координатная ось и координатная плоскость?

Координатная ось и координатная плоскость нужны для того, чтобы связать местность, точку пространства с числом или упорядоченной парой чисел. Такая связь используется давно. Например, на дороге ставят указатель расстояния до какого-либо объекта, месторасположение которого характеризуется одним числом. Математики разработали модель, удобную для описания любой прямолинейной дороги — это координатная ось. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчёта, масштаб и направление отсчёта (на прямой отмечаем точку 0 и точку 1 (см. рис. 1)). Этим мы добились взаимооднозначного соответствия между точками и числами (например, числу сопоставляется единственная точка на координатной прямой, точке сопоставляется единственное число — координата этой точки).

Математиками также была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале), так как известно, что в билете указывается номер ряда и номер места, то есть пара чисел, в которой номера упорядочены. Такая модель получила название «координатная плоскость». На данном уроке, тема которого: «Координатная плоскость. Терминология», мы рассмотрим координатную плоскость с прямоугольной системой координат.

Координатная плоскость. Основные сведения

Чтобы из обычной плоскости получить координатную с прямоугольной системой координат, необходимо провести две координатные оси, пересекающиеся в точках начала отсчёта. Горизонтальная ось называется «ось абсцисс» (направление отсчёта — слева направо), вертикальная — «ось ординат» (направление отсчёта — снизу вверх) (см. рис. 2).

Любой точке координатной плоскости сопоставляются два числа (две координаты): — абсцисса; —  ордината. Для получения этих координат необходимо через точку провести две прямые, параллельные координатным осям. Одна прямая пересечёт ось абсцисс (ось ) в точке  с координатами , вторая прямая пересечёт ось ординат (ось ) в точке  с координатами (см. рис. 2).

Четыре прямых угла, образованных координатными осями, называются координатными углами.

Построение точек по заданным координатам

Задача 1

Построить точки по заданным координатам.

Решение

Для построения точки необходимо отложить единицу на оси и провести перпендикулярную прямую; на оси откладываем число и проводим перпендикулярную оси прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку с координатами ().

Для построения точки необходимо отложить на оси число и провести перпендикулярную оси прямую; на оси откладываем число и проводим перпендикулярную оси прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку с координатами () (см. рис. 3).

Задачи на определение координатного угла

Задача 2

По знакам координат определить, в каком координатном углу находится точка.

а) , причём .

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку (см. рис. 4а).

Ответ: точка  лежит во втором координатном углу (ΙΙ).

б)  причём .

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку (см. рис. 4б).

Ответ: точка лежит в третьем координатном углу (ΙΙΙ).

в) , причём .

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней точку P (см. рис. 4в).

Ответ: точка P лежит в четвёртом координатном углу (ΙV).

Задача 3

В каких координатных углах находятся точки?

а) С положительной ординатой – . 

Решение

Построим координатную плоскость. Так как ордината точки больше нуля, а знак абсциссы не задан, такая точка может лежать в первом (точка ) или втором (точка ) координатном углу (см. рис. 5а).

Ответ: Ι, ΙΙ.

б) С отрицательной ординатой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как ордината точки меньше нуля, а знак абсциссы не задан, такая точка может лежать в третьем (точка ) или четвёртом (точка ) координатном углу (см. рис. 5б).

Ответ: ΙΙΙ, ΙV.

в) С положительной абсциссой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки больше нуля, а знак ординаты не задан, такая точка может лежать в первом (точка ) или четвёртом (точка ) координатном углу (см. рис. 5в).

Ответ: Ι, ΙV.

г) С отрицательной абсциссой – .

Решение

Построим координатную плоскость. Так как абсцисса точки меньше нуля, а знак ординаты не задан, такая точка может лежать во втором (точка ) или третьем (точка ) координатном углу (см. рис. 5г).

Ответ: ΙΙ, ΙΙΙ.

Задачи на определение уравнения прямой

Задача 4

Постройте точки , определите, на какой прямой они лежат.

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек абсцисса одинаковая и равна следовательно, они лежат на одной (вертикальной) прямой (см. рис. 6), уравнение которой .

Ответ: все заданные точки лежат на прямой .

Задача 5

Постройте точки , определите, на какой прямой они лежат.

Решение

Построим координатную плоскость и обозначим на ней заданные точки. У всех этих точек ордината одинаковая и равна следовательно, они лежат на одной (горизонтальной) прямой (см. рис. 7), уравнение которой .

Ответ: все заданные точки лежат на прямой .

Задача 6

По данным рисунка 8 напишите уравнения прямых и координаты точек их пересечения.

Решение

На рисунке видим, что абсцисса точки равна а ордината равна — . Аналогично находим координаты других точек: .

Уравнение прямой, так как ордината у любых точек этой прямой равна Уравнение прямой , так как ордината у всех точек этой прямой равна . Уравнение прямой, так как абсцисса у всех точек этой прямой равна Уравнение прямой, так как абсцисса у всех точек этой прямой равна .

Ответ:

Итоги урока

На этом уроке мы узнали, что такое координатная плоскость, способ её получения из обычной плоскости, а также решили типовые задачи.

Список литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. – 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.

Полезные ссылки

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

2. academic.ru.

Проверь себя

1. Как построить точку?

2. Какие знаки имеют координаты точек во втором координатном углу?

3. В какой четверти располагается точка?

4. Постройте фигуру по заданным точкам:.

5. Отметьте на координатной плоскости точки и . Проведите прямые и. Найдите координаты точки пересечения прямых.