03. Числовые выражения; действия с дробными числами (В. А. Тарасов)

Для дальнейшего решения заданий с алгебраическими выражениями необходимо ориентироваться в решении дробных. Поэтому целью данного урока является повторение основных действий с дробями. Неотъемлемой частью решения дробных выражений является знания свойств дроби при отнимании, сложении, сокращении, умножении и делении. В этом уроке будет рассмотрено способы применения каждого свойства при решении простых численных выражений, а в итоге - при решении алгебраических.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений».

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби заключается в том, что и числитель, и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 1: Домножить числитель и знаменатель дроби  на .

Дробь  не изменится, если числитель  и знаменатель , при условии  . Значит:

Пример 2: Разделить числитель и знаменатель дроби на число .

При делении числителя и знаменателя на число nзначение дроби  не изменится в случае, если .

Решение примеров на основное свойство дроби

Пример 3: Домножить числитель и знаменатель дроби  на 3.

Ответ:

Пример 4: Сократить дробь .

Для этого разложим и числитель, и знаменатель на простые множители.

Разделим и числитель, и знаменатель на и получим несократимую дробь:

Ответ:

Пример 5: Сократить дробь .

Разложим и числитель, и знаменатель на простые множители.

Разделим числитель и знаменатель на и на и получим несократимую дробь.

Ответ: .

Пример 6: Сократить дробь .

Разложим и числитель, и знаменатель на простые множители и сократим одинаковые.

Ответ: .

Пример 7: Найти значение выражения .

Разложим каждый знаменатель на простые множители и найдём их НОК, который и является общим знаменателем.

;

;

Дополнительный множитель дроби находится по формуле:

 Значит, получаем: 

Ответ: .

Правило умножения дробей

Правило умножения дроби на дробь.

При умножении дроби  на дробь  необходимо перемножить числители, и результат поставить в числитель, а также перемножить знаменатели и результат поставить в знаменатель. Получаем: 

Правило деления дробей

Правило деления дроби на дробь.

Существует два способа деления дроби на дробь.

1-й способ: Для того, чтобы разделить дробь на дробь , надо дробь умножить на обратную дробь , т. е. на .

2-й способ: Для того чтобы разделить дробь на дробь , надо числитель  первой дроби умножить на знаменатель  второй дроби и получить числитель  искомой дроби, знаменатель  первой дроби умножить на числитель  второй дроби и получить знаменатель  искомой дроби: .

Правило умножения и деления дроби на число

Правило умножения дроби на число.

При умножении дроби  на число  необходимо числитель  умножить на число , а знаменатель  оставить неизменным. Данное правило подтверждается ещё тем, что любое число  можно представить в виде дроби .

Пример 8: Умножить дробь  на число 7.

Ответ: 4.

Правило деления дроби на число.

При делении дроби  на число  необходимо число  представить в виде дроби  и потом использовать правило деления дроби на дробь.

Пример 9: Разделить дробь  на число 7.

.

Ответ: .

Правило деления числа на дробь

Правило деления числа на дробь.

При делении числа на дробь  необходимо помнить, что – это дробь . И в результате использовать правило деления дроби на дробь.

Решение уравнений

Пример 10: Решить уравнение .

Для того, чтобы найти , необходимо обе части уравнения разделить на одно и то же число - коэффициент перед .

,

.

Ответ:

Пример 11: Решить уравнение .

Данное уравнение можно решить двумя способами – в одно и в два действия. В одно действие – надо разделить обе части на коэффициент  перед .

Для решения уравнения в действия, можно сначала умножить на  обе части уравнения и получить . Дальше, чтобы получить , необходимо и левую, и правую часть умножить на 2.

Ответ: .

Пример 12: Решить уравнение .

1-ый способ: Разделим правую и левую часть на коэффициент перед , т. е. на .

;

.

 2-ой способ: Умножим обе части на Получается тот же результат.

;

.

Ответ:

Решение примера на нахождение значения алгебраического выражения

Пример 13: Найти значение алгебраического выражения , если , и .

Первым действием необходимо вычислить данное выражение, подставив значения переменных.

Вторым действием проверим, является ли набор значений ,, допустимым для данного алгебраического выражения.

Напомним, что набор будет допустимым, если при значениях , и выражение можно вычислить.

Подставив значения, видим, что знаменатель выражения не равен нолю, значит, выражение можно вычислить.

Третьим действием необходимо сократить дробь. Исходя из основного свойства дроби, при делении положительного числа на отрицательное получается отрицательное число.

.

Ответ: .

Итак, в данном уроке мы рассмотрели действия с числовыми и алгебраическими дробями. Также вспомнили основные правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. И мы видим, что вот эти действия и правила полностью переносятся на действия с алгебраическими дробями.

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Полезные ссылки

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».

Проверь себя

1. № 20-23-7 стр. 10-11. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Выполнить умножение или деление:

а) ;

б) ;

в)

г) .

3. Сократить дробь:

а) ;

б) .

4. Найти значение выражения:

а) ;

б) .