Пример 2. Доказать тождество .

Доказательство. Можно задачу сформулировать и по-другому: «Решить уравнение» – т. е. найти все значения , при которых выполняется указанное равенство. Начнем, все же, с доказательства тождества.

Заметим, что в знаменателе второй дроби находится сумма кубов:

.

Легко увидеть, что полученные множители являются знаменателями двух других дробей, находящихся в первых скобках, следовательно, знаменатель второй дроби является наименьшим общим знаменателем для всех трех дробей в скобке. Аналогично предыдущему примеру преобразуем данное выражение по действиям и начнем с первой скобки. Складывая и вычитая дроби, укажем дополнительные множители:

.

Вторым действием упростим выражение во второй скобке:

.

Теперь перемножим полученные выражения:

, после первого сокращения в знаменателе умножим две одинаковые скобки, а выражение в числителе свернем по формуле полного квадрата суммы.

Доказано.

Теперь вернемся к самому тождеству и попробуем рассмотреть его, как уравнение. Напомним, что решить уравнение – это найти все значения , которые удовлетворяют уравнению.

Решение. Мы уже доказали, что левая часть тождества тождественно равна правой при всех допустимых значениях переменной. Вот именно «допустимые значения переменной» в данном случае и являются важной фразой, ведь выражения с дробями, которые содержат переменную в знаменателе, могут иметь смысл не при всех значениях этой переменной.

Левая часть рассматриваемого выражения имеет смысл, когда знаменатели входящих в нее дробей не равны нулю:

1. Первый и четвертый знаменатели: .

2. Поскольку второй знаменатель раскладывается на первый и третий, то сначала рассмотрим третий знаменатель: при любых значениях переменной . Докажем это. Для этого выделим полный квадрат в исследуемом выражении:

.

Попробуем объяснить, зачем мы проделали подобные действия. Поскольку в исходном выражении старшая степень и линейный член вычитаются, то мы будем приводить его к квадрату разности по формуле: . Для этого из старшей степени с коэффициентом выделим квадрат , а из линейного члена выделим удвоенное произведение , тогда в роли квадрата второго коэффициента будет выступать . Но, поскольку мы прибавили член , которого в исходном выражении не было, то нам его придется и вычесть, а затем прибавить оставшуюся единицу, которую мы не преобразовывали. В итоге получаем:

при любых значениях переменной . Мы воспользовались неотрицательностью квадратичного выражения.

Имеем, что знаменатель третьей дроби не равен нулю ни при каких значениях переменной .

3. Знаменатель второй дроби раскладывается на множители, которые представляют собой знаменатели первой и третьей дробей, а поскольку из них только значение первого может равняться нулю, а второго нет, то: , т. е. уже найденное ранее ограничение на допустимые значения переменной.

Таким образом, мы указали, что вся левая часть выражения имеет смысл при всех допустимых значениях переменной, т. е. при , что и является решением уравнения.

Ответ..

Пример 3. Докажите тождество .

Доказательство. Проделаем преобразования по действиям. Упростим выражение в первой скобке. Для этого укажем наименьший общий знаменатель трех дробей, он равен , т. к. именно это выражение делится на все знаменатели одновременно. По известному нам алгоритму укажем и дополнительные множители:

.

В числителе полученной дроби нам придется воспользоваться формулами куба суммы и куба разности, которые мы сейчас вспомним в общем виде:

– куб суммы;

– куб разности.

Применим эти формулы для упрощения числителя и откроем в нем все скобки, а затем приведем подобные слагаемые:

, подставим это выражение в упрощаемую дробь и перепишем знаменатель в виде квадрата разности квадратов:

.

Перейдем ко второму действию, в котором умножим упрощенную нами первую скобку на указанную дробь, но перевернутую, т. к. на нее изначально требуется разделить. При этом, во второй дроби разность четвертых степеней разложим как разность квадратов квадратичных элементов:

.

В третьем действии вычтем из полученного выражения последнюю дробь, т. к. мы можем поменять перед ней знак на противоположный, чтобы в знаменателе получить разность, аналогичную знаменателю полученной выше дроби.

.

Доказано.

Мы повторили методы упрощения довольно сложных рациональных выражений. Теперь можем перейти к решению непосредственно рациональных уравнений, преобразования в которых, как правило, легче.