11. Практика. Функции

Область определения функции

Начнем с исследования области определения и области значений функций. Вспомним, что областью определения функции y(x) называют все возможные значения аргумента x (мы говорим о естественной области определения). Обычно область определения обозначают как D(y).

Пока что мы знаем только две недопустимые операции – это деление на ноль и извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Поэтому при нахождении области определения функции ограничения появляются в двух случаях.

1. В функции есть деление на переменные. В этом случае приравниваем знаменатель дроби к нулю. Решая полученное уравнение, получаем недопустимые значения аргумента x. Тогда областью определения будут все действительные числа, кроме недопустимых значений.

2. В функции есть операция извлечения корня. Тогда подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Записываем соответствующее неравенство. Множество решений этого неравенства и будет областью определения функции.

Задание 1. Найти область определения функций:

1. ;

2. ;

3. .

Решение

Единственным корнем этого уравнения является: x=1.

Это будет недопустимое значение аргумента. Тогда область определения – это все действительные числа, кроме 1. Еще записывают так:

Подробнее об этой краткой записи вы можете узнать ниже.

Краткая запись промежутков

Область определения мы смогли описать словами: все действительные числа, кроме 1. Но словесное описание в математике редко встречается, ведь обычно оно получается громоздким. Поэтому вводят специальные обозначения.

Так, если мы хотим указать на множество чисел, лежащих в некотором промежутке, то выполняем следующие действия.

1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.

2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит – круглую.

3. Если у промежутка нет правой границы, записываем ее как (или ). Если нет левой границы, пишем .

4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: U.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так: .

Все положительные числа можно описать как . Ноль не является положительным числом, поэтому скобка возле него круглая, возле бесконечности скобка всегда круглая.

В примере с областью определения мы получили два промежутка: все числа, большие 1, и все числа, меньшие 1. Поэтому и записали два соответствующих промежутка и , поставив между ними знак объединения.

Здесь у нас одновременно есть и деление, и извлечение корня. ОДЗ корня: .

Приравняем знаменатель к нулю:

Это будет недопустимое значение аргумента. Получаем, что область определения – это все неотрицательные числа, кроме 9:

Выражение содержит квадратный корень. Чтобы найти ОДЗ корня, нужно решить неравенство:

. Пока мы не умеем решать такие неравенства – поговорим про методы их решения в 9 классе. Тогда мы сможем находить и области определения таких функций. А сейчас мы просто укажем ответ.

В область определения войдут все значения меньше -1 (в этом случае числитель и знаменатель дроби будут отрицательными и их отношение будет положительным); войдет число -1 (тогда под корнем будет 0); также войдут все числа больше 1 (тогда числитель и знаменатель будут положительны, значит, и вся дробь будет положительна). Получаем два промежутка:

Ответ: ; ; .

Область значений функции

Область (или множество) значений функции – это все возможные значения y. Область значений принято обозначать E(y).

Вспомним графики базовых функций и их области значений.

1. Линейная функция и степенные функции с нечетным показателем (, и т. д.) принимают любые значения.

2. Квадратичная функция  и любая степенная с четным показателем (,  и т. д.) принимают только неотрицательные значения.

3. Функция квадратного корня  также принимает только неотрицательные значения.

4. Функция не может принимать нулевое значение.

Отметим, из-за чего возникают ограничения области значений в этих функциях.

1. Любое выражение в четной степени принимает неотрицательные значения.

2. Квадратный корень также принимает только неотрицательные значения.

3. При делении ненулевого числа на переменную мы никогда не получим ноль.

Основываясь на этих утверждениях, можно найти область значений и для более сложных функций.

Задание 2. Найти область значений функции:

1. ;

2. ;

3. .

Решение

Анализируем:  – неотрицательная величина, . Минимальное значение этого выражения равно нулю. Если мы прибавим 4, то минимальное значение будет равно 4: . Возведем в квадрат, минимальное значение станет равно 16. Остальные значения будут больше: .

Таким образом, область значений равна: .

Анализируем: . Тогда: . Теперь посмотрим, какие значения будет принимать дробь . Если , то: . При бо̀льших значениях знаменателя будем получать меньшие значения дроби, например:

Значения будут уменьшаться, но никогда не достигнут нуля, ведь при делении 2

 на любое число мы никогда не получим 0. То есть  строго больше нуля, а максимальное значение выражения равно 2. Область значений равна: .

Для оценки области значений квадратичной функции необходимо выделить полный квадрат:

Прибавим и вычтем такое число, чтобы получить в скобках полный квадрат.

Сворачиваем по формуле квадрата суммы

Мы преобразовали нашу функцию к виду:.

 – неотрицательное выражение. Соответственно,также неотрицательное. Минимальное значение равно 0. Тогда, прибавив 1, получим минимальное значение 1:

.

Ответ:;;.

Это же задание можно было решить с помощью построения эскиза графика квадратичной функции. Подробнее об этом ниже.

Нахождение области значений квадратичной функции при помощи эскиза графика

Дана функция:.

Найдем координаты вершины данной параболы. Сравнивая с общим видом квадратичной функции

, получаем:. Тогда абсцисса вершины:

.

Для нахождения ординаты вершины найдем значение функции в этой точке:

При этом коэффициент, значит, ветви параболы направлены вверх. Получаем эскиз графика.

Видим, чтосоответствует минимальному значению функции:.

Свойства квадратичной функции

Вспомним, что две точки на плоскости однозначно задают прямую. Соответственно, для построения линейной функции нам достаточно знать координаты двух точек, которые ей принадлежат. А вот квадратичную функцию по двум точкам не построишь. Зато три точки, однозначно задают параболу.

Задание 3. Запишите уравнение параболы, которая проходит через точки. Найдите нули полученной квадратичной функции и координаты ее вершины.

Решение

Запишем общий вид квадратичной функции:.

Поскольку точки принадлежат графику, то при подстановке их координат в функцию, мы получим правильные равенства.

Точка K:.

Точка L:.

Точка M:.

Упростив выражения, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив ее, найдем значения параметров a, b и c квадратичной функции.

Из второго уравнения сразу знаем значение. Можем подставить в другие два уравнения:

Приведем подобные слагаемые:

Полученную систему из двух уравнений решим методом сложения:

Осталось найти b. Подставим в любое из уравнений системы a=1:

Получили уравнение параболы:

Нули функции – это значения аргумента, при которых y=0. То есть нужно решить уравнение:. Это обычное квадратное уравнение, корни можно подобрать по теореме Виета:

Эти значения и будут нулями квадратичной функции.

Ранее мы получали готовую формулу для расчета абсциссы вершины параболы:.

В нашей задаче:.

Чтобы вычислить ординату вершины, можно найти значение функции в этой точке:

.

Итак, получаем координаты вершины.

Ответ:;.

Построение графиков функций с учетом области определения

Теперь перейдем к построению графиков функций. На предыдущих уроках мы уже разбирали, как построить графики с помощью преобразований базовых функций. Сегодня мы разберем задания, которые можно решить с помощью этих построений.

Задание 4. Построить график функции:.

Пользуясь графиком, определить, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение

Первым делом найдем область определения функции: знаменатель функции не может быть равен нулю, решим уравнение:

Тогда область определения – все действительные числа, кроме 0 и 2:,.

Теперь упростим выражение:

Можем сократить дробь на. Значение x=2 не входит в область определения, значит, мы сокращаем на ненулевое число:.

График этой функции мы можем получить из графика обратной пропорциональности.

Умножим функцию на -1: .

График отобразится симметрично относительно оси x.

К функции прибавим 4: .

Это и есть искомый график? Нет! Это график функции. А исходная функция имеет другую область определения: уже учтено: на графике нет точки с абсциссой 0. Нужно еще учесть. Для этого «выколем» точку с. Вот теперь мы получили график функции

.

Ответим на второй вопрос. График функции – это прямая, параллельная оси x. Нужно расположить ее так, чтобы она не пересекала график.

По рисунку видно, что это можно сделать двумя способами:

1. разместить прямую так, чтобы она совпадала с горизонтальной асимптотой;

2. разместить прямую, чтобы она проходила через выколотую точку.

Найдем значения m в каждом случае.

1. У графикагоризонтальная асимптота. После симметричного отображения эта асимптота не изменится. А вот после подъема графика асимптота тоже поднимется вверх на

    и это уже будет прямая y=4. Таким образом, получаем первый ответ: m=4.

2. Мы знаем абсциссу выколотой точки: x=2. Эта точка принадлежит графику функции, поэтому можем найти ее ординату:.

Прямая проходит через эту точку, значит, m=3,5.

Ответ:.

Кусочно-заданные функции

Рассмотрим пример построения графика функции с модулем.

Задание 5. Построить график функции:

Решение

В функции присутствует модуль, поэтому, прежде чем построить график, нам нужно его раскрыть.

Вспомним, что:

С учетом этого получим: если, то. Упростив, получим функцию:

. Если, то. Упростив, получим:

.

Сокращенно это можно записать так:

Функции, заданные таким образом, называются кусочно-заданными. Обратите внимание: при одних значениях аргумента у нас одна функция, при других – другая. Кусочно-заданные функции нередко встречаются при моделировании различных ситуаций в физике, экономике и пр.

Например, при малых удлинениях механическое напряжение в твердом теле линейно зависит от относительного удлинения. Но при бо̀льших удлинениях вид зависимости меняется. Соответственно, описать такую зависимость мы сможем только кусочно-заданной функцией.

Вернемся к решению задачи. Мы получили различные функции на разных промежутках аргумента. Теперь осталось построить графики этих функций на этих промежутках, и мы получим график исходной функции.

Строить графики квадратичных функций мы уже умеем. Это можно делать несколькими способами: преобразовав график или найдя вершину параболы и направление веток. Разберем оба способа.

Начнем с построения графика с помощью преобразований. Выделим полный квадрат:

Функция примет вид:.

Строим график этой функции путем преобразования графика

К аргументу прибавляется 1 – график сместится на 1 влево.

Эта функция задана при условии, поэтому оставляем только часть графика.

Теперь построим график. Применим другой способ. Найдем координаты вершины параболы:

Коэффициент a<0, поэтому ветви параболы направлены вниз. Для более точного построения найдем значения функции в точках, ближайших к вершине:

Получаем график функции.

Итак, мы получили график исходной функции.

С построением еще одного графика функции с модулем вы можете ознакомиться ниже.

Построение графика функции с двумя модулями

Задание. Построить график функции:

Решение

Здесь у нас два разных подмодульных выражения. Каждый модуль нужно раскрывать по отдельности:

Чтобы сделать это более рационально, обратимся к предыдущему примеру. Там было одно значение x, при котором модуль обращался в ноль: x=0 – и прямая x=0 разбивала плоскость на две части, в каждой из которых был свой график функции.

Здесь у нас два выражения с модулями, и два таких значения: x=1 и x=-2. Соответственно, прямые x=11 и x=-2 разобьют плоскости уже на 3 области, в каждой из которых нужно будет построить свой график.

1. Первая область: x<-2

При таком условии оба подмодульных выражения будут отрицательны и модули раскроются со знаком «минус»:

Получим функцию:

После упрощения:

Это прямая, построим ее по 2 точкам:

Оставим только ту часть прямой, которая лежит в первой области.

2. Вторая область:

В этом случае:

Получим функцию:

После упрощения: y=-x

Это прямая, строим по 2 точкам:

3. Третья область:.

В этом случае:

Получим функцию:.

После упрощения:.

Это снова прямая, строим по двум точкам:

Оставляем только часть прямой, которая лежит в третьей области. В итоге мы получили график исходной функции.

Преобразования и и

Мы увидели, что функцию с модулем можно привести к кусочно-заданной функции.  Это универсальный алгоритм работы с подобными функциями. Но в некоторых случаях можно упростить задачу. Сделаем так, как обычно делают в математике: решим задачу один раз в общем виде, чтобы затем можно было пользоваться готовым результатом.

Задание 6. Построить график функции, если задан график функции.

Решение

Раскроем модуль:

Как построить такую кусочно-заданную функцию? Если, то, то есть график остается без изменений при. А это все значения, лежащие выше оси x.

Если же , то . Такой тип преобразования мы знаем – это симметрия относительно оси x. Часть графика, лежащую ниже оси x, нужно симметрично отобразить.

Получаем ответ: чтобы из графика  получить , нужно часть графика, лежащую выше оси x, оставить без изменений, а лежащую ниже – отобразить симметрично относительно этой же оси.

Задание 7.Построить график функции, если задан график функции.

Решение

Как и в предыдущем примере, сначала раскроем модуль:

Видим, что при  функция не меняется. То есть часть графика, расположенная справа от оси y, остается неизменной.

Если же x<0, то . Это преобразование соответствует симметрии относительно оси y. Не забываем оставить только левую часть этого графика, там, где x<0.

Получаем ответ: чтобы из графика  получить , нужно оставить часть графика, лежащую справа от оси y, и затем отобразить ее симметрично относительно этой же оси.

Итак, мы изучили еще два преобразования графиков функций. Применим их на практике.

Задание 8. Построить график функции:

Решение

Начнем с изученных ранее преобразований и построим график функции . Для этого нужно график сместить на 2 вправо и на 3 вниз.

Теперь построим график . Это преобразование вида . Значит, нужно оставить правую часть графика и отобразить ее симметрично относительно оси y.

И наконец, строим график . Это преобразование вида . Поэтому верхнюю часть графика оставляем без изменений, нижнюю – симметрично отражаем относительно оси x.

Список литературы

1. Никольский С. М., Решетников Н. Н., Потапов М. К., Шевкин А. В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б./Под ред. Теляковского С. А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «egeguru.com».

2. Интернет-портал «resolventa.ru».

3. Интернет-портал «kontromat.ru».

Домашнее задание

1. Найти область определения функций: ;;.

2. Задать параболу вида , проходящую через точки ,,.

3. График функции  представлен на рисунке:

   Построить график функции .