04. Функция y = k/х, её свойства и график (продолжение 1)

Повторение свойств функции y=k/x

На этом уроке мы продолжим изучение функции , её графика и свойств, а также научимся решать типовые задачи.

Напомним, как выглядит график данной функции.

В случае, если , то ветви гиперболы расположены в , координатных четвертях, а если , то –,. (Рис. 1,2 соответственно).

Перечислим теперь основные свойства функции :

1) Область определения: .

2) Монотонность на промежутках  и .

3) Асимптоты: координатные оси ,.

4) Центр симметрии .

Вспомним также о влиянии коэффициента :– чтобы получить из первого графика второй, необходимо растянуть его в 2 раза от оси .

Решение задачи на нахождение коэффициента k

Повторив все основные свойства гиперболы, перейдём к решению типовых задач.

Задача 1

Гипербола  проходит через точку . Найти:

а) коэффициент , изобразить схематически график функции;

б) найти пределы изменения функции на луче ;

в) установить: проходит ли гипербола через точки ,.

Решение:

а) при , так как график функции проходит через точку  с соответствующими координатами. Значит: . Получаем, что график имеет вид:. Его схематический вид следующий:

б) Рассмотрим поведение гиперболы при . Воспользуемся монотонностью функции на этом промежутке. Данная гипербола на этом промежутке монотонно возрастает. Значит, её максимальное значение будет достигаться на правом конце промежутка: . Минимального же значения на этом промежутке не будет, так как функция будет стремиться к , но не будет его достигать.

Значит, при :.

 в)  проходит через точку  и не проходит через точку . Поясним это: чтобы точка лежала на графике, её координаты должны удовлетворять уравнению этого графика. – верно, значит, точка  лежит на графике. С другой стороны, – неправильное равенство, значит, точка  не лежит на графике.

Графическое решение системы уравнений

 Задача 2

Определите с помощью графиков число решений системы уравнений:

.

Решение:

– гипербола ( и  координатные четверти).

– прямая (, точка пересечения с осью :).

Построим эти графики в одной системе координат:

Как видно из рисунка, графики этих функций пересекаются в двух точках. Значит, данная система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

Решение задачи на построение кусочной функции

Задача 3

Построить график функции: .

Найти: а) ,,; б) построить график ; в) перечислите свойства этой функции.

Решение:

Начнём с построения графика этой функции. Данная функция называется кусочной.

Первая часть графика – это кусок параболы (рис.8.).

Вспомнив, свойства параболы с отрицательным коэффициентом, получаем, что на указанном промежутке функция возрастает, причём её значения меняются от  до .

Вторая часть графика – это часть прямой (отрезок) . Она также возрастает на указанном промежутке (так как коэффициент при  положителен), причём её значения меняются от  до . (рис. 9.).

Третья часть графика – это часть гиперболы . (рис. 10.).

Зная свойства гиперболы, получаем, что на этом промежутке функция убывает, причём максимальное значение достигается на левом конце:  (хотя эта точка не принадлежит этой части графика).

Следующий шаг – это объединение всех трёх графиков на одном рисунке. В результате получается следующий график:

Вернёмся теперь к пункту а). Теперь мы легко можем посчитать значения:,,.

Теперь осталось сформулировать ответ на пункт в): функция определена на промежутке . Кроме того, она принимает все значения на промежутке . Также функция является непрерывной. При этом на промежутке:  . На промежутке  .

Мы рассмотрели типовые задачи. Теперь рассмотрим задачи, которые могут сопутствовать этим задачам.

Решение задач на исследование количества решений уравнения f(x)=a

Задача 4

Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы 1 решение (корень), где – функция из предыдущей задачи.

Решение:

Методика решения подобных задач:

1) Вначале необходимо изобразить график функции.

Мы воспользуемся графиком из предыдущей задачи:

2) Найти множество значений функции: . Для этого используем определение и свойство функции: функция – это зависимость  от , при которой каждому допустимому значению  соответствует ровно одно значение . А свойство функции: каждое значение  достигается хотя бы при одном значении .

3) Выписать ответ: . Это следует из того, что уравнение  может иметь решения только в случае, если  принадлежит множеству значений функции. Действительно, если провести прямую , то она не пересечёт график функции, то есть корней не будет. А если провести прямую , то будут точки пересечения, значит, будут и решения соответствующего уравнения.

Ответ: .

Задача 5

Для каждого значения параметра  найти число решений уравнения  (функция  из предыдущей задачи).

Решение:

Фактически нам необходимо перебрать все значения  и указать ответ.

Методика решения подобных задач:

1) Вначале необходимо изобразить график функции (см. рис. 12).

2) Рассечь его семейством прямых  при разных значениях параметра .

3) Определить количество точек пересечения прямых с графиком функции при различных значениях параметра .

Мы видим, что при – решений нет; при – 1 решение; при – 2 решения; при – 1 решение; при – решений нет.

4) Выписать ответ.

Ответ: при – решений нет; при – 1 решение; при – 2 решения.

Итак, мы повторили свойства функции  при различных значениях , а также разобрали ряд типовых задач, которые связаны со свойствами и графиками данной функции.

На следующем уроке мы перейдём к изучению новой темы: «Квадратный корень».

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Алгебра и начала анализа – 10 кл (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 826, 827 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исследуйте количество корней уравнения , в зависимости от значений параметра .

3. Решите графически уравнения: а) , б) .