Решение задач с помощью квадратных уравнений

Введение

На этом уроке мы выясним, как решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений. Как вы уже знаете, при решении любой задачи необходимо сначала перевести её условие на математический язык, составить нужное уравнение (или не одно, а несколько уравнений – систему уравнений), а затем решить его. На этом уроке мы поговорим о таких задачах, в которых уравнения будут получаться не линейные, как это было раньше, а квадратные. Или сводящиеся к квадратным.

Задача (геометрическая)

Рассмотрим такую геометрическую задачу.

Задача

Периметр прямоугольника равен  см, а его диагональ –  см (Рис. 1). Найти стороны прямоугольника.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  см – одна сторона прямоугольника. Тогда другая –  см, так как удвоенная сумма сторон (периметр) равна  см. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, который образован смежными сторонами прямоугольника и его диагональю, и составим уравнение.

По теореме Виета:

Это и есть длины сторон. Логично, что получилось два ответа: за  ведь можно было взять как меньшую сторону, так и большую.

Ответ:  см и  см.

Задача на движение (два способа)

Три основных типа текстовых задач в математике – на движение, на работу и на смеси. На смеси очень редко бывают задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, так что о них сейчас говорить не будем. Рассмотрим задачу на движение.

Задача

Катер прошел  км по течению реки и  км по озеру, затратив на весь путь  час. Скорость течения равна  км/ч. Найти скорость катера по течению.

Решение (первый способ)

Как всегда в подобных задачах, лучше всего за  брать то, что спрашивают. Тогда мы не ошибемся, если, найдя , сразу запишем его в ответ.

Итак, пусть  км /ч – скорость катера по течению. Тогда скорость катера по озеру меньше ровно на скорость течения – ведь в озере течения нет. Значит, по озеру катер двигался со скоростью  км/ч. При этом мы также знаем пути, которые катер прошёл по реке и по озеру. Вспомним уравнение движения: . Найдем время : по озеру , а по реке – .

Чтобы было удобнее, запишем все данные в следующую таблицу.

 

Теперь вспомним, что в общей сложности катер плыл  час, получаем уравнение:

По теореме Виета:

 – не подходит, так как скорость катера по течению не может быть меньше скорости течения. Значит, ответ:  км/ч.

Решение (второй способ)

Как вы уже заметили, в таких задачах очень важно переписать условие на математический язык, то есть язык формул и уравнений. В этой задаче это получилось, но проблема первого способа в том, что он работает только для этой конкретной задачи. Хочется чего-то более универсального. Попробуем это сделать.

Итак, перечитаем условие и попробуем записать текст в виде формул. Пока не будем задумываться, не много ли обозначений мы ввели, просто перепишем условие на математическом языке.

1. По течению: .
2. По озеру: .
3. В сумме плыл один час:  час.
4.  км/ч.
5.  – ?

Теперь второй шаг. Воспользовавшись формулой , запишем эти данные в виде системы: .

Теперь про условие задачи можно вообще забыть: мы свели решение задачи к решению системы уравнений, дальше дело техники.

Решив полученное уравнение (для сокращения записи можно заменить  – получим то же уравнение, что и в первом способе), получим тот же самый ответ.

Ответ:  км/ч.

Универсальный алгоритм для решения текстовых задач

Повторим шаги алгоритма, позволяющего решить любую текстовую задачу.

1. Переписать условие на математический язык.
2. Составить уравнение или систему уравнений.
3. Решить полученное уравнение или систему.
4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

Так, в рассмотренной задаче про катер получилось два значения неизвестной, и чисто алгебраически оба они являются решениями уравнения (системы). Однако для одного из значений скорость катера против течения реки получается отрицательной – это и есть анализ: в ответ записываем только второе значение.

Задача на совместную работу

Рассмотрим ещё один тип задач, на совместную работу.

Задача

Бассейн наполняется двумя трубами за  часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на  ч быстрее, чем вторая?

Решение

Для начала вспомним формулу для вычисления объёма проделанной работы: . Обратите внимание на то, что здесь есть полное соответствие задачам на движение: путь – объём работы, скорость – производительность, время – время.

Эту задачу можно решить ровно по тому же алгоритму, что и предыдущую. Сначала перепишем условие на математическом языке.

1. Работа по наполнению бассейна объёмом  выполнена двумя трубами одновременно с общей скоростью  за время  ч.
2. Первая труба наполняет бассейн (объём работы ) со скоростью  за время .
3. Вторая труба наполняет бассейн (объём работы ) со скоростью  за время .
4. Разница между временем  и временем  равна  ( на  ч)

Обратите внимание на то, что в подобных задачах на совместную работу производительности складывать можно, а времена – нет.

Второй шаг – составляем систему: .

Так как трубы заполняют один и тот же бассейн, то есть выполняют одинаковую работу, то можно принять работу за . Обратите внимание, речь не идет об  литре или кубометре,  в данном случае – это  бассейн. Так что и производительность в этом случае будет измеряться не в литрах в час, а в бассейнах в час, то есть какую часть бассейна заполнит труба за час.

Третий шаг – решаем систему: .

Получаем:

По теореме Виета:

И теперь анализ: время не может быть отрицательным, так что ответ –  часов.

Ответ:  ч.

Нестандартный пример

Рассмотрим пример ещё одной, не совсем стандартной текстовой задачи.

Задача

На шахматном турнире каждый сыграл с соперником по  партии. Всего было сыграно  партий. Сколько участников было на турнире?

Решение

Пусть участников было . Тогда каждый сыграл  партию. Итого,  партий… Казалось бы, приравняли к , решаем… А целого ответа нет. Почему так? Да потому, что мы каждую партию посчитали дважды (например, партия Вася – Петя и Петя – Вася посчитаны как разные партии, но ведь это одна и та же партия). Значит, количество партий . Тогда получаем: .

По теореме Виета:

Второй вариант не подходит, так что участников было .

Ответ:  участников.

Заключение

На этом уроке мы разобрали ряд текстовых задач, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Помимо этого, мы рассмотрели универсальный алгоритм, который используется при решении любой текстовой задачи.

1. Переписать условие на математическом языке.
2. Составить уравнение или систему уравнений.
3. Решить полученное уравнение или систему уравнений.
4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра. 8 класс. С углубленным изучением математики, Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. – М.: Просвещение, 2010.
2. Алгебра. 8 класс, Алимов Ш.А. – М.: Просвещение, 2012.
3. Алгебра. 8 класс. Рабочая тетрадь, Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
2. Интернет портал «znaika.ru» (Источник)
3. Интернет портал «uztest.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии своей подруги, потребовалось  фотографий. Сколько было подруг?
2. Токарь должен был отработать  деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на  деталей в день больше и закончил работу на  день раньше. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за  день?
3. Периметр прямоугольного треугольника равен  см, один его катет на  см больше другого. Чему равны стороны этого треугольника?