Тема: Прогрессии
Урок: Характеристическое свойство арифметической прогрессии
1. Повторение. Опорные факты
Функцию 
, где 
, называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью: 
В арифметической прогрессии действуют определенные закономерности. Они выражены в следующих важных формулах.
Формула n-го члена арифметической прогрессии:
.
Первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
.
Вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: 
.
2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Доказать, что каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов.
Доказательство.
Из определения арифметической прогрессии следует, что
.
Значит, 
, 
, 
.
причем это свойство справедливо для всех n=2, 3,4, …
Таким образом, если мы имеем арифметическую прогрессию, то в ней справедливо доказанное характеристическое свойство.
Справедливо обратное утверждение, а именно: если в последовательности (
) каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов, то последовательность () – арифметическая прогрессия.
Действительно, из равенства , получаем или , n=2, 3, 4 … и т.д.
Т.е.
Следовательно, разность между предыдущим и последующим членами остается постоянной, а это означает, что последовательность () – арифметическая прогрессия.
Мы доказали, что если последовательность является арифметической прогрессией, то справедливо характеристическое свойство, т.е. каждый член, начиная со второго есть среднее арифметическое соседних членов.
Доказали обратное утверждение: если каждый член последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних членов, то такая последовательность является арифметической прогрессией.
Таким образом, доказана следующая теорема:
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Эта теорема называется характеристическим свойством арифметической прогрессии.
3. Решение задач на доказанное свойство
1. При некотором значении х числа 
являются последовательными членами конечной арифметической прогрессии.
Найдите значения 
.
Дано: { 
} – арифметическая прогрессия.
Найти:
.
Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: 
, 
.
Ответ: х=1; а1=3; а2=6; а3=9.
2. Даны три функции 
.
Найдите значение t, при котором числа у1, у2, у3 в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
Дано:
Найти:
Решение:
Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность 
, если у2, средний член, есть среднее арифметическое соседних, т.е.
.
t
Ответ: t=1; у1=7, у2=1, у3=-5.
Задача решена.
3. Дано: числа a, b, c удовлетворяют условиям 
.
Доказать: числа 
в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Доказательство:
Для доказательства воспользуемся характеристическим свойством.
Три числа в указанном порядке будут образовывать арифметическую прогрессию, если .
.
Все преобразования равносильные, эквивалентные, если а, в, с ненулевые числа.
Таким образом, мы доказали, что характеристическое свойство имеет место, значит, три числа образуют арифметическую прогрессию.
Что и требовалось доказать.
4. Еще одно свойство арифметической прогрессии
Дано: () – арифметическая прогрессия, d≠0.
Доказать: 
, если 
(1)
Доказательство.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
.
Имеем следующую цепочку равносильных преобразований:
.
Последнее равенство верно в силу условия. Но из этого верного равенства в силу равносильности можно получить исходное первое равенство.
Значит, свойство доказано.
5. Решение задач на доказанное свойство
1. Дано: 
, 
.
Найти: 
.
Решение:
Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: 
.
Ответ: 
.
2. Дано: , 
.
Найти:
, 
Решение.
Воспользуемся доказанным свойством: 
=
, т.к. 1+19=9+11=3+17=20
Ответ: =
.
6. Итог урока
Итак, мы изучили характеристическое свойство арифметической прогрессии, решили несколько задач с применением указанного свойства. Следующий урок посвятим решению типовых задач на арифметическую прогрессию.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А.Г. , Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 376, 378, 444 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 12.89 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
