Тема: Прогрессии
Урок: Определение и свойства арифметической прогрессии, формула n-го члена
1. Определение арифметической прогрессии
Вспомним, что числовая последовательность – частный случай функции, функции, определенной на множестве натуральных чисел. Арифметическая прогрессия – частный случай числовой последовательности.
Рассмотрим примеры, дающие представление об арифметической прогрессии.
1. Задана последовательность чисел: 
Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член больше предыдущего на 4 (обозначим это число буквой d), т.е. 
Данную последовательность можно задать рекуррентно: 
. Заметим, что эта последовательность является возрастающей (
) .
2. Задана последовательность чисел: 
В этой последовательности все числа равны между собой, 
.
3. Задана последовательность чисел: 
Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член меньше предыдущего на 2. Чтобы получить последующий член надо к предыдущему прибавить число (-2), т.е. 
Данную последовательность можно задать рекуррентно: 
. Заметим, что эта последовательность является убывающей (
) .
Дадим определение арифметической прогрессии.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.
Арифметическая прогрессия обозначается следующим образом:
.
Арифметическая прогрессия может быть задана рекуррентно: 
Непосредственно из определения арифметической прогрессии следуют такие свойства:
- если 
, то арифметическая прогрессия 
- возрастающая;
- если 
, то арифметическая прогрессия - убывающая.
2. Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует истинность равенств: 
. Тогда
и т.д. Значит, 
Т.е., зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию считают заданной, если известен ее первый член и разность.
Формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
3. Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать с помощью метода математической индукции.
Дано: , 
.
Доказать: (1)
Доказательство.
Формула (1) верна при n=1. Действительно, 
.
Предположим, что формула (1) верна при n=k, т.е. 
.
Докажем, что формула (1) верна и при n=k+1, т.е. 
.
Из условия 
и предположения получаем:
.
Согласно принципу математической индукции формула (1) верна для любого натурального числа.
4. Исследование арифметической прогрессии
Из формулы n-го члена арифметической прогрессии следует, что
. Это означает, что арифметическая прогрессия зависит от n, т.е. является функцией натурального аргумента.
Вывод: арифметическая прогрессия – это линейная функция натурального аргумента 
, где 
.
Если , то линейная функция возрастает и арифметическая прогрессия - возрастающая;
если , то линейная функция убывает и арифметическая прогрессия - убывающая.
5. Примеры
Пример 1.
Дано: =
.
Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии 
.
Доказать: - возрастающая.
Дать: геометрическую иллюстрацию.
Решение.
.Тогда 
, т.е. 
.
Поскольку 
, заданная арифметическая прогрессия – возрастающая.
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции 
и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).
Рис. 1. График функции
Пример 2.
Дано: =
.
Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .
Дать: геометрическую иллюстрацию.
Решение.
.
Тогда 
для любого натурального числа.
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции 
и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 2).
Рис. 2. График функции
Пример 3.
Дано: =
.
Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .
Доказать: - убывающая.
Дать: геометрическую иллюстрацию.
Решение.
.
Тогда 
, т.е. 
.
Поскольку 
, заданная арифметическая прогрессия – убывающая.
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции 
и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).
Рис. 3. График функции
Пример 4.
Дано: , 
.
Найти: 
; наименьший положительный член.
Решение.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: 
.
Тогда 
, т.е. 
.
Чтобы найти наименьший положительный член, надо опять воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии.
. Тогда 
, и значит 
.
Наименьший положительный член прогрессии 
.
Ответ: ; 
- наименьший положительный член.
Пример 5.
Дано: , 
.
Найти: 
.
Решение.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: .
Тогда 
, 
, 
.
Ответ: 
.
6. Итог урока
На уроке мы познакомились с арифметической прогрессией и ее свойствами. вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. На следующем уроке рассмотрим формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А.Г. , Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 346, 348, 354, 360 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 12.83 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
