Тема: Прогрессии
Урок: Решение типовых задач по теме “Арифметическая прогрессия”
1. Повторение
1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.
.
2. 
– формула n-го члена арифметической прогрессии.
, т.е. n-й член арифметической прогрессии зависит от n, значит, является функцией натурального аргумента.
3. 
– первая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
– вторая формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
5. Обобщение характеристического свойства арифметической прогрессии:
n-й член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому равноотстоящих членов, т.е. 
при допустимых значениях p (
).
6. Свойство членов арифметической прогрессии: 
, если 
. Например, 
.
2. Решение задач
Задача 1.
Дано: 
.
Найти: 
.
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
для выражения членов данной прогрессии (основной метод решения подобных задач):
Составим и решим систему:
Ответ: 
.
Примечание: 
Задача 2.
Проверить 
Решение.
Задача 3.
Дано: 
.
Найти: 
.
Решение.
Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством арифметической прогрессии: 
. Откуда, 
. Следовательно,
Составим и решим систему:
Ответ: 
Задача 4.
При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2 и в остатке 5. Найти .
Повторение: 1. 
2. 
3. 
+5.
Дано: 
.
Найти: .
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
для выражения членов данной прогрессии:
Составим и решим систему:
Ответ: 
.
Задача 5.
Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.
Повторение. Каждое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:
Дано: 
.
Найти: х.
Решение.
Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии
для выражения членов данной прогрессии:
Составим и решим систему:
.
Ответ: 
.
Задача 6.
Найдите x, при котором числа 
образуют конечную арифметическую прогрессию.
Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: 
.
Решая полученное квадратное уравнение, получаем 
Ответ: 
Задача 7.
Сумма 75-ти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найти 38-й член прогрессии.
Дано: 
, 
.
Найти: 
.
Решение:
Общая формула:
.
В нашем случае:
.
Ответ: 
.
Задача 8.
Докажите, что последовательность, сумму n первых членов которой можно вычислить по формуле 
, 
, является арифметической прогрессией.
Решение.
. Тогда,
Равенство 
означает, что 
-й член линейно зависит от 
, значит, последовательность 
является арифметической прогрессией с разностью 
. Покажем, что и последовательность 
тоже является арифметической прогрессией. Действительно,
. Следовательно, 
Таким образом, доказано, что 
. Значит, является арифметической прогрессией.
3. Итог урока
На уроке повторили свойства арифметической прогрессии и решили типовые задачи. Следующий урок посвятим обзору по теме арифметическая прогрессия.
Список рекомендованной литературы
1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.
5. Мордкович А.Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
6. Мордкович А.Г. , Мишутина Т.Н., Тульчинская Е.Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.
7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Раздел College.ru по математике (Источник).
2. Портал Естественных Наук (Источник).
3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 443, 447, 451 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).
2. № 12.108 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).
