Задача 1.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии (основной метод решения подобных задач):

Составим и решим систему:

Ответ: .

Примечание:

Задача 2.

Проверить

Решение.

Задача 3.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся обобщенным характеристическим свойством арифметической прогрессии: . Откуда, . Следовательно,

Составим и решим систему:

Ответ:

Задача 4.

При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2 и в остатке 5. Найти .

Повторение: 1.

2.

3. +5.

Дано: .

Найти: .

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

Составим и решим систему:

Ответ: .

Задача 5.

Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.

Повторение. Каждое число в десятичной системе счисления можно записать следующим образом:

Дано: .

Найти: х.

Решение.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

для выражения членов данной прогрессии:

Составим и решим систему:

.

Ответ: .

Задача 6.

Найдите x, при котором числа образуют конечную арифметическую прогрессию.

Решение.

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: .

Решая полученное квадратное уравнение, получаем

Ответ:

Задача 7.

Сумма 75-ти первых членов арифметической прогрессии равна 450. Найти 38-й член прогрессии.

Дано: , .

Найти: .

Решение:

Общая формула:

.

В нашем случае:.

Ответ: .

Задача 8.

Докажите, что последовательность, сумму n первых членов которой можно вычислить по формуле , , является арифметической прогрессией.

Решение.

. Тогда,

Равенство означает, что -й член линейно зависит от , значит, последовательность является арифметической прогрессией с разностью . Покажем, что и последовательность тоже является арифметической прогрессией. Действительно,

. Следовательно, Таким образом, доказано, что . Значит, является арифметической прогрессией.