02. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Базовый уровень

Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

Мы выделили базовые объекты стереометрии – точку, прямую, плоскость.

Точка может принадлежать прямой или плоскости, а может не принадлежать (см. рис. 1). Здесь все интуитивно понятно.

Поговорим о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим две прямые. На плоскости у нас было всего два варианта – прямые пересекаются или не пересекаются (параллельны) (см. рис. 2).

Эти два варианта останутся и в пространстве, если прямые лежат в одной плоскости. Но две прямые могут и не лежать в одной плоскости.

Рассмотрим прямую и произвольную точку, которая на ней не лежит. Как мы уже знаем, они задают плоскость. Понятно, что мы можем провести через точку множество прямых, не принадлежащих данной плоскости (см. рис. 3).

Понятно, что все такие прямые не могут пересекать исходную прямую (иначе бы они имели две общие точки с плоскостью, а значит, принадлежали бы ей).

Кроме того, легко доказать, что любая из этих прямых не может лежать с исходной в одной плоскости. Действительно, если бы это было так, то через прямую и не лежащую на ней точку мы бы провели две различные плоскости, что противоречит теореме, которую мы доказали на предыдущем уроке.

Итак, получаем три возможных варианта взаимного расположения прямых в пространстве.

1. Пересекающиеся прямые: понятно, что они лежат в одной плоскости (см. рис. 4).

2. Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, но не пересекаются (см. рис. 5).

3. Скрещивающиеся прямые. Не лежат в одной плоскости. Т.е. не существует плоскости, проходящей через эти две прямые (см. рис. 6).

Скрещивающиеся прямые мы часто встречаем в жизни. Обратите внимание, что по рисунку обычно нельзя понять – скрещиваются прямые или пересекаются (см. рис. 7).

Когда мы смотрим на следы от самолетов в небе, то может казаться, что их траектории пересеклись (см. рис. 8), хотя они могли лететь на разных эшелонах (разной высоте) (см. рис. 9) и их следы были частью скрещивающихся, а не пересекающихся прямых.

А вот траектории двух кораблей (если предположить, что они движутся по прямой) обязательно пересекутся (ведь корабли движутся на одной «высоте», то есть, грубо говоря, по плоскости) (см. рис. 10). Но это не приводит к столкновениям, так как в роли третьей координаты (компоненты) выступает время – в точке пересечения корабли оказываются в разное время.

Наконец, еще один пример – провода в электрической схеме. Если они пересекаются, значит, в этой точке есть контакт (см. рис. 11). А как быть, если провода не соприкасаются? Для этого придумали специальное обозначение (см. рис. 12). Оно показывает, что в данном случае электрические провода – скрещивающиеся прямые и не лежат в одной плоскости.

Мы уже знаем, что плоскость можно задать парой пересекающихся прямых. Можно добавить теперь еще способ – пара параллельных прямых также однозначно задает плоскость (см. рис. 13).

Если рассмотреть две случайные прямые в пространстве, то вероятность того, что они окажутся в одной плоскости, равна нулю. То есть они наверняка будут скрещивающимися. Если мы все-таки потребуем, чтобы они были в одной плоскости, то они окажутся пересекающимися. Параллельность же будет самым маловероятным событием.

Перейдем к взаимному расположению прямой и плоскости. В планиметрии такого вопроса не существовало. Плоскость была всего одна, и все прямые лежали в этой плоскости.

В стереометрии мы сформулировали аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

То есть прямая может полностью принадлежать плоскости. Если же она ей не принадлежит, то у нее не может быть больше одной общей точки с этой плоскостью.

Получаем еще два варианта расположения: прямая пересекает плоскость в одной точке или у прямой и плоскости нет общих точек. Здесь уже скрещиваемости быть не может: плоскость делит пространство на две части, и не пересекающая ее прямая должна лежать только в одной из этих частей, так что интуитивно ясно, что в этом случае прямая параллельна плоскости (см. рис. 14).

Каждому варианту соответствует свое определение.

Прямая лежит в плоскости, если все ее точки принадлежат плоскости (см. рис. 15).

Прямая пересекает плоскость, если только одна точка прямой принадлежит плоскости (см. рис. 16).

Прямая параллельна плоскости, если ни одна точка прямой не принадлежит плоскости (см. рис. 17).

При переходе от планиметрии к стереометрии мы часто указываем на объекты, которые являются аналогами. Например, круг и шар – это аналогичные фигуры. Круг можно назвать двумерным шаром. У них идентичные определения с оговоркой на количество измерений.

Аналогом прямой на плоскости является плоскость в пространстве. Почему так, понять не сложно: у пространства – 3 измерения, у плоскости – 2, у прямой – 1. Получается, что у прямой на плоскости на 1 измерение меньше, чем у самой плоскости. Аналогично у плоскости в пространстве.

Такие объекты называют гиперплоскостями (прямая – гиперплоскость для плоскости, плоскость – гиперплоскость для пространства). Но для нас это не так важно.

Мы воспользуемся этой аналогией для определения возможного взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Вспомним, что две прямые на плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными.

Аналогично плоскости в пространстве могут или пересекаться, или быть параллельными (см. рис. 18). Параллельными плоскости мы будем называть, если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности прямых и плоскостей

Рассмотрим несколько важных утверждений, которые следуют из рассмотренных ранее аксиом и определений.

В планиметрии была теорема о трех параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. Такое свойство объектов называют транзитивностью, вспомним из алгебры:

Транзитивностью обладает и параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Так, если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу:

Это утверждение можно использовать в качестве признака параллельности прямых.

Чтобы доказать эту теорему, нам понадобится вспомогательная теорема (лемма).

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (см. рис. 19).

Хоть это утверждение и кажется очевидным, но, так как оно не является аксиомой, его нужно строго доказать. Доказательство можно посмотреть ниже.

Доказательство леммы

Пусть прямые и параллельны и пересекает плоскость в точке (см. рис. 20). Докажем, что прямая тоже пересекает плоскость .

Так как прямые параллельны, то существует плоскость , в которой они обе лежат. Точка принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, плоскости пересекаются, причем по некоторой прямой , проходящей через точку (см. рис. 21).

Так как эта прямая лежит в обеих плоскостях, то в плоскости лежат все три прямые , , . Так как через точку не могут проходить две параллельные прямые для , то пересекает в некоторой точке . Но тогда – общая точка и для прямой , и для плоскости .

Получается, что прямая или пересекает плоскость , или лежит в ней. Но лежать в плоскости они не может, иначе бы она лежала в обеих плоскостях, а такая прямая у нас уже есть – это . Таким образом, остается только один вариант: пересекает плоскость .

Доказано.

Доказательство теоремы о транзитивности параллельных прямых

Пусть . Чтобы показать, что они параллельны друг другу, нужно показать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Отметим точкуна прямойи проведем через прямуюи эту точку плоскость (см. рис. 22).

Покажем, что прямаялежит в этой плоскости. Если бы прямаяпересекала плоскость, то, по лемме о параллельных, прямаятоже пересекала бы эту плоскость, а вслед за ней и прямаяпо той же лемме. Нолежит в плоскости, а не пересекает ее. Следовательно,не пересекает плоскость. А так как она имеет с ней общую точку, значит, она лежит в плоскости.

Итак, прямыеилежат в одной плоскости. Могут ли они пересекаться? Если бы такое случилось, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, обе параллельные, что невозможно. Следовательно, они не пересекаются, а значит, параллельны.

Доказано.

Сформулированная нами лемма позволяет доказать признак параллельности прямой и плоскости. Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказать это утверждение легко. Если прямаяпараллельна прямой, которая лежит в плоскости , то а не может пересекать, иначе, по лемме о параллельных,обязана тоже пересекать, чего быть не может. Следовательно, прямаяпараллельна.

Верно и обратное утверждение.

Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости есть прямые, ей параллельные.

Доказательство

Построить такую прямую легко. В самом деле, пусть прямаяпараллельна плоскости(см. рис. 23).

Проведем через нее плоскость , которая пересекает плоскостьпо прямой(см. рис. 24).

Прямыеибудут параллельны. В противном случае они бы пересеклись, так как лежат в одной плоскости . Но тогда бы прямаяпересекла плоскость, а она ей параллельна.

Понятно, что таких прямыхв плоскостибесконечно много. Чтобы их получить, нужно чуть-чуть повернуть плоскость вокруг прямой. Или просто построить любую прямую в плоскости, которая параллельна прямой .

Доказано.

Теперь мы можем получить еще один признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна плоскости, то все прямые, параллельные данной прямой, либо параллельны плоскости, либо лежат в ней (см. рис. 25).

Понятно, почему так. Если бы какая-то прямая пересекла плоскость, то все ей параллельные прямые тоже должны были бы это сделать по лемме о параллельных прямых, включая и исходную прямую, чего быть не может.

Решение задач

Рассмотрим несколько практических задач. 

Пример 1.

Сторонатреугольника  параллельна плоскости , а его стороны пересекают плоскость в точках и. Доказать, что треугольники иподобны (см. рис. 43).

Доказательство

Для начала отметим, что оба треугольника лежат в одной плоскости треугольника .

Далее плоскость треугольника проходит через прямую , параллельную плоскости , и пересекает плоскость  по прямой , значит, прямые ипараллельны.

Задача свелась к планиметрической: в треугольникеотрезокпараллелен основанию . Осталось доказать подобие треугольникови. Это сделать легко:

(соответственные при параллельных прямых и) (см. рис. 44).

Треугольники, у которых два угла попарно равны, подобны по признаку подобия.

Доказано.

Пример 2.

Дан тетраэдр. На серединах его ребер построен четырехугольник. Определить его тип (см. рис. 45).

Решение

Начнем с того, что четырехугольник в пространстве не обязан быть плоским, т. е. его вершины могут не лежать в одной плоскости. Неплоский четырехугольник легко получить из плоского, немного согнув его по диагонали. Каков же наш четырехугольник?

Рассмотрим грань . Она является треугольником, а в нем – средняя линия, которая параллельная основанию . Рассмотрим грань . В этом треугольнике средняя линия тоже параллельна основанию . Следовательно, параллелен .

Но тогда через эти два отрезка можно провести единственную плоскость. И все четыре вершины окажутся в этой плоскости. Итак, наш четырехугольник оказался плоским и у него есть пара параллельных сторон и.

Но аналогично , так как они параллельны каждый.

Итак, в четырехугольнике противоположные стороны оказались попарно параллельны. Он параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Скрещивающиеся прямые

Пока мы больше говорили о параллельных и пересекающихся прямых. Поговорим немного о скрещивающихся прямых. Для них есть простой и удобный признак.

Теорема

Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются (см. рис. 46).

Для доказательства нужно показать, что данные прямые не лежат в одной плоскости.

Доказательство

Итак, предположим, что существует плоскость, в которой лежат обе прямые (см. рис. 47).

Тогда эта плоскость проходит через прямую и точку , т. е. совпадает с первой плоскостью, а значит, и прямая лежит в плоскости, которую она должна на самом деле пересекать. Получили противоречие. Таким образом, прямые не могут лежать в одной плоскости, т. е. они скрещиваются.

Доказано.

Теорема

Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, и притом только одну (см. рис. 48).

Доказательство

В самом деле, пусть есть две скрещивающихся прямые и. Через точку  проходит единственная прямая , параллельная прямой (см. рис. 49).

Две пересекающиеся прямые задают плоскость. Так как, лежащей в этой плоскости, то . Итак, мы построили плоскость, проходящую черези параллельную.

Почему она единственная? Любая другая плоскость, проходящая через, будет пересекаться прямой, но тогда, по лемме о параллельных, она будет пересекаться и прямой.

Через прямуютоже проходит плоскость, параллельная прямой. Нетрудно увидеть, что эти плоскости будут параллельны друг другу.

Докажем этот факт от противного. Проведем через плоскость, параллельную(см. рис. 50).

Если предположить, что она пересечет первую плоскость, то у них будет общая прямая. Это прямая не может пересекать, иначе плоскость будет иметь общую точку с, а ведь она ей параллельна. Кроме того, эта прямая параллельна самой прямой, а следовательно, и . Т. е. эта прямая параллельна обеим пересекающимся прямым, чего не может быть.

Таким образом, через каждую из двух скрещивающихся прямых проходят плоскости, параллельные друг другу.

Доказано.

Пример 3.

В параллелепипеде через скрещивающиеся прямыеипроходит пара параллельных плоскостей – левая и правая грани (см. рис. 51).

Возьмите в руки два карандаша и расположите их параллельно. Легко видеть, какую плоскость они задают. Если вы совсем немного повернете один карандаш, но не в их общей плоскости, то карандаши станут скрещивающимися (см. рис. 52). При этом они еще очень близки к параллельности. Поворачивая карандаш еще, мы все дальше будем уходить от параллельности.

Таким образом, возникает вопрос об угле между скрещивающимися прямыми. Чтобы дать ему формальное определение, воспользуемся равенством углов с сонаправленными сторонами.

Теорема

Пусть стороны двух углов попарно параллельны и сонаправлены. Тогда эти углы равны (см. рис. 53).

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться ниже.

Доказательство теоремы

Каждая пара сонаправленных лучей задает плоскость.

Эти плоскости имеют две общие точкии– вершины углов, а значит, они пересекаются по прямой(см. рис. 55).

Отложим на соответствующих лучах равные отрезки:

Получили два четырехугольника в каждой плоскости, которые являются параллелограммами, так как у них две противоположные стороны равны и параллельны.

Тогда,и  равны и параллельны. Тогда четырехугольник тоже параллелограмм. Тогда треугольникииравны, следовательно,.

Вспомним, что в планиметрии для двух пересекающихся прямых меньший из полученных углов считается углом между прямыми. Т. е. угол между ними не больше. Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Теперь перейдем к разговору, что такое угол между скрещивающимися прямыми.

Выберем произвольную точку. Она может лежать на одной из прямых или нет.

Проведем через эту точку две прямые, параллельные, соответственно, одной и второй из скрещивающихся прямых. Угол между этими пересекающимися прямыми назовем углом между скрещивающимися прямыми (см. рис. 56).

Если точку брать на одной из скрещивающихся прямых, то дополнительно строить придется только одну прямую. Понятно, что, если точки выбирать в других местах, мы будем получать равные углы, потому что у них будут сонаправлены стороны.

Пример 4.

Угол между скрещивающимися прямымиив параллелепипеде равен углу между прямымии. Если параллелепипед прямоугольный, то угол между скрещивающимися ребрами равен(см. рис. 57).

Список литературы

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Учебник. – М.: «Просвещение».

2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Учебник. – «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – М.: «Просвещение».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «resolventa.ru».

Домашнее задание

1. Точкане лежит в плоскости прямоугольника. Доказать, что прямаяпараллельна плоскости.

2. Дан треугольник. Плоскость, параллельная прямой, пересекает сторонуэтого треугольника в точке, а сторону– в точке. Найти длину отрезка, если ,.

3. По рисунку указать скрещивающиеся прямые, проходящие через ребра куба; диагонали граней и диагональ куба.