Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника

Виды симметрии, определения, примеры

Как и в планиметрии, в пространстве мы будем рассматривать симметрию относительно точки и относительно прямой, но дополнительно появится симметрия относительно плоскости.

Определение.

Точки А и  называются симметричными относительно точки О (центра симметрии), если О – середина отрезка . Точка О симметрична сама себе.

Чтобы для заданной точки А получить симметричную ей точку  относительно точки О, нужно провести прямую через точки А и О, отложить от точки О отрезок, равный ОА, и получить искомую точку  (рисунок 1).

Рис. 1. Симметрия относительно точки

Аналогично точки В и  симметричны относительно точки О, т. к. О – середина отрезка .

Так, задан закон, согласно которому каждая точка плоскости переходит в другую точку плоскости, и мы говорили, что при этом сохраняются любые расстояния, то есть .

Рассмотрим симметрию относительно прямой в пространстве.

Чтобы получить для заданной точки А симметричную точку относительно некоторой прямой а, нужно из точки А на прямую опустить перпендикуляр и отложить на нем равный отрезок (рисунок 2).

Рис. 2. Симметрия относительно прямой в пространстве

Определение.

Точки А и  называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) если прямая а проходит через середину отрезка  и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой  симметрична сама себе.

Определение.

Точки А и  называются симметричными относительно плоскости  (плоскость симметрии) если плоскость  проходит через середину отрезка  и перпендикулярна ему. Каждая точка плоскости  симметрична сама себе (рисунок 3).

Рис. 3. Симметрия относительно плоскости

Некоторые геометрические фигуры могут иметь центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.

Элементы симметрии фигур

Определение.

Точка О называется центром симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, в параллелограмме и параллелепипеде точка пересечения всех диагоналей является центром симметрии. Проиллюстрируем для параллелепипеда.

Рис. 4. Центр симметрии параллелепипеда

Так, при симметрии относительно точки О в параллелепипеде  точка А переходит в точку , точка В – в точку  и т. д., таким образом, параллелепипед переходит сам в себя.

Определение.

Прямая  называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, каждая диагональ ромба является для него осью симметрии, ромб переходит сам в себя при симметрии относительно любой из диагоналей.

Рассмотрим пример в пространстве – прямоугольный параллелепипед (боковые ребра перпендикулярны основаниям, в основаниях – равные прямоугольники). Такой параллелепипед имеет оси симметрии. Одна из них проходит через центр симметрии параллелепипеда (точку пересечения диагоналей) и центры верхнего и нижнего оснований.

Определение.

Плоскость  называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, прямоугольный параллелепипед имеет плоскости симметрии. Одна из них проходит через середины противоположных ребер верхнего и нижнего оснований (рисунок 5).

Рис. 5. Плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда

Элементы симметрии присущи правильным многогранникам.

Понятие правильного многогранника, теорема о правильных многогранниках

Определение.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Теорема.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при .

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда  – правильный шестиугольник. Все его внутренние углы равны :

Тогда при  внутренние углы будут  и больше.

В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех ребер, значит, в каждой вершине содержится не менее трех плоских углов. Их общая сумма (при условии, что каждый больше либо равен ) больше либо равна . Это противоречит утверждению: в выпуклом многограннике сумма плоских всех углов при каждой вершине меньше .

Теорема доказана.

Примеры правильных многогранников

Куб (рисунок 6):

Рис. 6. Куб

-куб составлен из шести квадратов; квадрат – это правильный многоугольник;

-каждая вершина – это вершина трех квадратов, например вершина А – общая для граней-квадратов ABCD, ;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. состоит из трех прямых углов. Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

-куб имеет центр симметрии – точка пересечения диагоналей;

-куб имеет оси симметрии, например прямые а и b (рисунок 6), где прямая а проходит через середины противоположных граней, а b – через середины противоположных ребер;

-куб имеет плоскости симметрии, например плоскость, которая проходит через прямые а и b.

2. Правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой):

 

Рис. 7. Правильный тетраэдр

-правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный тетраэдр состоит из трех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

- правильный тетраэдр имеет оси симметрии, они проходят через середины противоположных ребер, например прямая MN. Кроме того, MN – расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, MN перпендикулярно ребрам АВ и CD;

-правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рисунок 7);

-правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

3. Правильный октаэдр:

-состоит из восьми равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по четыре ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный октаэдр состоит из четырех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

4. Правильный икосаэдр:

-состоит из двадцати равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по пять ребер;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный икосаэдр состоит из пяти плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

5. Правильный додекаэдр:

-состоит из двенадцати правильных пятиугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

Итак, мы рассмотрели виды симметрии в пространстве и дали строгие определения. Также определили понятие правильного многогранника, рассмотрели примеры таких многогранников и их свойства.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matemonline.com (Источник).
2. Fmclass.ru (Источник).
3. 5klass.net (Источник).

 

Домашнее задание

1. Укажите количество осей симметрии прямоугольного параллелепипеда;
2. укажите количество осей симметрии правильной пятиугольной призмы;
3. укажите количество плоскостей симметрии октаэдра;
4. постройте пирамиду, у которой есть все элементы симметрии.