Куб (рисунок 6):

Рис. 6. Куб

-куб составлен из шести квадратов; квадрат – это правильный многоугольник;

-каждая вершина – это вершина трех квадратов, например вершина А – общая для граней-квадратов ABCD, ;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. состоит из трех прямых углов. Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

-куб имеет центр симметрии – точка пересечения диагоналей;

-куб имеет оси симметрии, например прямые а и b (рисунок 6), где прямая а проходит через середины противоположных граней, а b – через середины противоположных ребер;

-куб имеет плоскости симметрии, например плоскость, которая проходит через прямые а и b.

2. Правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой):

Рис. 7. Правильный тетраэдр

-правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный тетраэдр состоит из трех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

- правильный тетраэдр имеет оси симметрии, они проходят через середины противоположных ребер, например прямая MN. Кроме того, MN – расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, MN перпендикулярно ребрам АВ и CD;

-правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рисунок 7);

-правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

3. Правильный октаэдр:

-состоит из восьми равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по четыре ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный октаэдр состоит из четырех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

4. Правильный икосаэдр:

-состоит из двадцати равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по пять ребер;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный икосаэдр состоит из пяти плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

5. Правильный додекаэдр:

-состоит из двенадцати правильных пятиугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

Итак, мы рассмотрели виды симметрии в пространстве и дали строгие определения. Также определили понятие правильного многогранника, рассмотрели примеры таких многогранников и их свойства.

Список литературы

И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Matemonline.com (Источник).
Fmclass.ru (Источник).
5klass.net (Источник).

Домашнее задание

Укажите количество осей симметрии прямоугольного параллелепипеда;
укажите количество осей симметрии правильной пятиугольной призмы;
укажите количество плоскостей симметрии октаэдра;
постройте пирамиду, у которой есть все элементы симметрии.