Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство

Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости пересекающиеся прямые а₁ и b₁, причем прямая а₁ параллельна прямой а, а прямая b₁ параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости и параллельны.

Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости , прямая а₁ принадлежит плоскости , а прямая а параллельна прямой а₁. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b₁ из плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .

Предположим, что плоскости и не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

Рис. 4.

Плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.