Признак перпендикулярности двух плоскостей

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Тема урока

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а – ребро).

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница – l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол, измерение двугранного угла

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ – угол между плоскостями α и β, если

Перпендикулярность плоскостей

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ – это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Анализ

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано:

 

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD –линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Следствие

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Дано:

 

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

Следствие доказано.

Следствие 2

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам соответствующего двугранного угла: ребру и граням.

Дано:

,

,

.

Доказать:

,

.

Рис. 5

Доказательство:

Мы имеем двугранный угол, образованный полуплоскостями α и β, которые пересекаются по прямой l (l – ребро двугранного угла) (рис. 5).

На ребре l взята точка М, к ребру l проведены два перпендикуляра МА и МВ в плоскостях α и β соответственно. Пусть пересекающиеся прямые МА и МВ образуют плоскость γ. Это и есть плоскость линейного угла.

Прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и МВ из плоскости γ по построению. Значит, прямая l перпендикулярна плоскости γ.

Плоскость α проходит через прямую l, которая перпендикулярна γ, значит, .

Аналогично, плоскость β проходит через прямую l, которая перпендикулярна γ, значит, .

Итак, доказано, что плоскость линейного угла перпендикулярна всем его элементам: и ребру, и граням.

Утверждение

Если в одной из перпендикулярных плоскостей проведена прямая перпендикулярно к их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и к другой плоскости.

Дано: ,

.

Доказать:

Рис. 6

Доказательство:

Пусть в плоскости β проведена прямая b = MB, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей – l. (рис. 6)

Проведем прямую МА = а перпендикулярно прямой l. Тогда из точки М проведены два перпендикуляра к ребру l в плоскостях α и β. Получаем ∠АМВ – линейный угол двугранного угла. Так как плоскости α и β перпендикулярны, то ∠АМВ = 90°. Значит, прямые а и b перпендикулярны.

Тогда прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая b перпендикулярна плоскости α, что и требовалось доказать.

Напоминание определения и признака перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой из плоскости.

Признак. Если прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к самой плоскости, а значит, к любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 7).

Рис. 7

Итоги урока

Здесь мы рассмотрели перпендикулярность двух плоскостей, доказали признак перпендикулярности плоскостей.

На следующем уроке мы начнем изучение прямоугольного параллелепипеда.

 

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Домашнее задание

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Задания 1, 3, 4 стр. 70.
3. Докажите, что плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.
4. Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b прогнут по диагонали BD так, что плоскости BAD и BCD взаимно перпендикулярны. Найдите AC.
5. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны,  Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Расстояние от точки М до прямой а – 14 см, а от точки N до прямой а – 7 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных с точек M и N на прямую а, если MN = 21 см.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ (Источник).
2. Школьный страницы (Источник).
3. Я Класс (Источник).