11. Типовые задачи на применение теоремы о трёх перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

Тема урока

К изучению предлагается тема «Типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью».

Теорема о трех перпендикулярах

Имеем плоскость (рис. 1). В плоскости лежит прямая . – перпендикуляр к плоскости , – наклонная, - проекция наклонной на плоскость . 

По теореме о трех перпендикулярах, наклонная перпендикулярна к прямой тогда и только тогда, когда ее проекция перпендикулярна к прямой .

В теореме идет речь трех перпендикулярах. Укажем их:

– это перпендикуляр к плоскости , а значит, к прямой .

– проекция, перпендикуляр к прямой .

– наклонная, перпендикуляр к прямой .

Угол между прямой и плоскостью

Рассмотрим плоскость и прямую , (рис. 2). Пусть прямая а пересекает плоскость , но не перпендикулярна ей. Тогда углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. То есть, угол меду прямой и плоскостью - это угол . Пусть .

Свойство угла между прямой и плоскостью

Через точку в плоскости проведем прямую (рис. 2). Рассмотрим угол между прямой и прямой , назовем его . Тогда по свойству угла между прямой и плоскостью получаем, что .

Задача 1

Прямая перпендикулярна к плоскости правильного треугольника , точка – середина стороны .

1) Докажите, что .

2) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , .

1) Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

- это проекция наклонной на плоскость . - медиана. По свойству правильного треугольника медиана является и высотой, то есть прямые и перпендикулярны.

Первый способ:

Прямая перпендикулярна - проекции наклонной . По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая перпендикулярна и наклонной , что и требовалось доказать.

Второй способ:

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , лежащей в плоскости . Имеем, перпендикулярна , перпендикулярна , значит, перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , лежащей в этой плоскости, что и требовалось доказать.

2) Дано: , , , .

Найти: .

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскости. Мы имеем наклонную , имеем ее проекцию . Значит, углом между прямой и плоскостью является угол .

Треугольник – правильный. Значит, все его углы равны . Значит, .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как . Найдем :

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . , .

.

Угол – острый, значит, .

Ответ: .

Задача 2

Из точки проведен перпендикуляр к плоскости прямоугольника (рис. 4).

1) Докажите, что треугольники и – прямоугольные.

2) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , , .

1) Дано: прямоугольник , . 

Доказать: и   – прямоугольные.

Доказательство:

– перпендикуляр к плоскости . – наклонная, - ее проекция. Проекция перпендикулярна прямой из плоскости . Значит, и наклонная перпендикулярна (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник - прямоугольный, так как угол - прямой.

Аналогично, – наклонная, - проекция наклонной на плоскость . Проекция перпендикулярна , значит, и наклонная перпендикулярна (по теореме о трех перпендикулярах). Угол прямой, треугольник прямоугольный.

2) Дано: – прямоугольник, , , , .

Найти: .

Решение:

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. - наклонная, ее проекция на плоскость , следовательно, нам нужно найти угол . Обозначим его за .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . (как противоположные стороны прямоугольника). Найдем по теореме Пифагора.

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Найдем угол .

.

Угол – острый, значит, .

Ответ: .

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.

Следующий урок мы также посвятим решению задач по этим важным темам.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎bankege.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 14, 15 стр. 63

2. Катеты прямоугольного треугольника и перпендикулярны прямой , на которой отмечена точка , так что . Найдите расстояние от точки до середины гипотенузы.

3. К плоскости треугольника , стороны которого , , а угол между ними , проведен перпендикуляр . Найдите расстояние от точки до середины стороны .

4. В прямоугольном параллелепипеде укажите углы наклона диагонали к плоскостям граней, имеющих общую вершину . Вычислите эти углы, если , .