Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD (рис. 4).

1) Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные.

2) Найдите угол между прямой МD и плоскостью АВС, если СD = 3см,

АD = 4 см, МВ=5 см.

Рис. 4

1) Дано: прямоугольник АВСD, МВ ⊥ АВС.

Доказать: ∆АМD и ∆МСD – прямоугольные

Доказательство:

МВ – перпендикуляр к плоскости АВС. МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА перпендикулярна прямой АD из плоскости АВС. Значит, и наклонная МА перпендикулярна DА (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой.

Аналогично, МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС. Проекция ВС перпендикулярна СD, значит, и наклонная МС перпендикулярна СD(по теореме о трех перпендикулярах). Угол МСD прямой, треугольник МСD прямоугольный.

2) Дано:

АВСD – прямоугольник, МD ⊥ АВС

СD = 3 см, АD = 4 см, МВ = 5 см.

Найти: ∠(DМ; АВС).

Решение:

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. DМ - наклонная, DВ ее проекция на плоскость АВС, следовательно, нам нужно найти угол МDВ. Обозначим его за φ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВАD. АВ = СD = 3 см (как противоположные стороны прямоугольника). Найдем ВD по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. Найдем угол ВDМ.

Угол φ – острый, значит,

Ответ: