Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью
Тема урока
К изучению предлагается тема «Типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью».
Теорема о трех перпендикулярах
Имеем плоскость α (рис. 1). В плоскости α лежит прямая b. АН – перпендикуляр к плоскости α, АМ – наклонная, МН - проекция наклонной АМ на плоскость α.
По теореме о трех перпендикулярах, наклонная перпендикулярна к прямой b тогда и только тогда, когда ее проекция перпендикулярна к прямой b.
Рис. 1
В теореме идет речь трех перпендикулярах. Укажем их:
АH – это перпендикуляр к плоскости α, а значит, к прямой b.
HМ – проекция, перпендикуляр к прямой b.
АМ – наклонная, перпендикуляр к прямой b.
Угол между прямой и плоскостью
Рассмотрим плоскость α и прямую а, а = АМ (рис. 2). Пусть прямая а пересекает плоскость α, но не перпендикулярна ей. Тогда углом между прямой а и плоскостью α называется угол между прямой а и ее проекцией на эту плоскость. То есть, угол меду прямой а и плоскостью α - это угол АМН. Пусть 
Рис. 2
Свойство угла между прямой и плоскостью
Через точку М в плоскости α проведем прямую МВ (рис. 2). Рассмотрим угол между прямой а и прямой МВ, назовем его φ. Тогда по свойству угла между прямой и плоскостью получаем, что 
.
Задача 1
Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, точка М – середина стороны ВС.
1) Докажите, что МК ⊥ ВС
2) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВС, если АК = а, ВС = 2а.
1) Дано:
AB = BC = CA,
AK ⊥ ABC,
BM = MC.
Доказать: МК ⊥ ВС.
Рис. 3
Доказательство:
АМ - это проекция наклонной КМ на плоскость АВС. АМ - медиана. По свойству правильного треугольника медиана АМ является и высотой, то есть прямые ВС и АМ перпендикулярны.
Первый способ:
Прямая ВС перпендикулярна АМ - проекции наклонной МК. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая ВС перпендикулярна и наклонной МК, что и требовалось доказать.
Второй способ:
Прямая АК перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ВС, лежащей в плоскости АВС. Имеем, ВС перпендикулярна АМ, ВС перпендикулярна АК, значит, ВС перпендикулярна плоскости МАК, а значит, и прямой МК, лежащей в этой плоскости, что и требовалось доказать.
2) Дано:
АВ = ВС = СА,
АК ⊥ АВС,
ВС = 2а,
АК = а,
Найти: ∠(КМ; АВС)
Решение:
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскости. Мы имеем наклонную МК, имеем ее проекцию АМ. Значит, углом между прямой МК и плоскостью АВС является угол АМК.
Треугольник АВС – правильный. Значит, все его углы равны 60°. Значит, ∠АВС = 60°.
Рассмотрим треугольник АМВ. Он прямоугольный, так как АМ ⊥ ВС. Найдем АМ:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АМК. AK = a, 
Угол АМК – острый, значит, 
Ответ: 30°.
Задача 2
Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD (рис. 4).
1) Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные.
2) Найдите угол между прямой МD и плоскостью АВС, если СD = 3см,
АD = 4 см, МВ=5 см.
Рис. 4
1) Дано: прямоугольник АВСD, МВ ⊥ АВС.
Доказать: ∆АМD и ∆МСD – прямоугольные
Доказательство:
МВ – перпендикуляр к плоскости АВС. МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА перпендикулярна прямой АD из плоскости АВС. Значит, и наклонная МА перпендикулярна DА (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой.
Аналогично, МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС. Проекция ВС перпендикулярна СD, значит, и наклонная МС перпендикулярна СD(по теореме о трех перпендикулярах). Угол МСD прямой, треугольник МСD прямоугольный.
2) Дано:
АВСD – прямоугольник, МD ⊥ АВС
СD = 3 см, АD = 4 см, МВ = 5 см.
Найти: ∠(DМ; АВС).
Решение:
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. DМ - наклонная, DВ ее проекция на плоскость АВС, следовательно, нам нужно найти угол МDВ. Обозначим его за φ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВАD. АВ = СD = 3 см (как противоположные стороны прямоугольника). Найдем ВD по теореме Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. Найдем угол ВDМ.
Угол φ – острый, значит, 
Ответ: 
Итоги урока
Итак, мы рассмотрели типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.
Следующий урок мы также посвятим решению задач по этим важным темам.
Список рекомендованной литературы
1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. СССР (Источник).
2. Якласс (Источник).
3. Банк ЕГЭ (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 14, 15 стр. 63
2. Катеты прямоугольного треугольника АВ = 8 см и АС = 14 см перпендикулярны прямой АМ, на которой отмечена точка К, так что АК = 4 см. Найдите расстояние от точки К до середины гипотенузы.
3. К плоскости треугольника АВС, стороны которого АВ = 8 см, АС = 15 см, а угол между ними 120°, проведен перпендикуляр АМ = 42 см. Найдите расстояние от точки М до середины стороны ВС.
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 укажите углы наклона диагонали B1D к плоскостям граней, имеющих общую вершину В. Вычислите эти углы, если АВ = ВВ1 = а, ВС = 2а.
