06. Решение задач с применением векторов

Решение задачи о тетраэдре векторным способом

В тетраэдре и – точки пересечения медиан граней и . Доказать, что . Найти отношение .

Решение:

Решим задачу векторным методом. Для начала вводим тройку некомпланарных векторов, пусть , , . Мы знаем, что теперь любые векторы в пространстве можно выразить через три выбранных вектора, при чем единственным образом. Выразим вектор :

Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

Выразим векторы  и .

Аналогичным образом

Имеем:

Теперь выразим вектор :

Очевидна связь между векторами:  или .

Очевиден ответ на поставленный вопрос: прямые и параллельны, т. к. векторы  и коллинеарны; отношение  составляет .

Решение той же задачи геометрическим методом

Теперь решим эту же задачу геометрическим способом, опираясь на свойства точки пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники подобны. В них:

Мы применили свойство точки пересечения медиан треугольника – она делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

Кроме того, треугольники имеют общий угол .

Из подобия треугольников вытекает параллельность соответствующих сторон: .

Кроме того:

Рассмотрим треугольник , в нем  – средняя линия, т. к. точки  и  основания медиан граней и . Согласно свойству средней линии:

;

Имеем:

Ответ получен такой же, как и при решении векторным методом.

Итак, была рассмотрена и решена задача о тетраэдре. Решена двумя методами – с помощью векторов, что позволило повторить известную нам теорию о векторах, и геометрически – основываясь на свойствах основных элементов треугольника.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

2. Высоты и правильного тетраэдра пересекаются в точке . Разложите векторы , , ,  по векторам , , .

3. В тетраэдре медианы грани пересекаются в точке . Докажите, что длина отрезка меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной .