Введение
Мы уже ввели понятие системы координат в пространстве, а также задали основные связанные с ней термины. Рассмотрим простейшие, базовые задачи в координатах, на которых в дальнейшем будет строиться решение большинства задач.
Задача. Нахождение координат середины отрезка
Дано: 
; 
, 
– середина 
. Найти: 
.
Решение: Обозначим в пространстве точки 
и – середину отрезка . (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Ввели систему координат
Вектор 
является половиной суммы векторов
и 
, потому что 
– это половина диагонали параллелограмма, построенного на векторах 
и . (См. Рис. 2.)
Рис. 2. Использование правила параллелограмма
Так как 
и 
, и 
(по правилу параллелограмма),
то значит:
Осталось заметить, что координаты точки совпадают с координатами вектора , так как 
– начало координат. То есть 
.
Таким образом, координаты середины отрезка есть полусуммы соответствующих координат его концов.
Можно было действовать и иначе: 
. Координаты вектора мы знаем, значит, можем найти координаты вектора 
, а отсюда, зная координаты начала этого вектора 
находим координаты конца – .
Ответ: .
Задача (координаты точки на отрезке)
Пусть даны две точки: ; , точка делит отрезок в отношении 
от вершины 
. Найти: . (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Иллюстрация к условию задачи
Решение
Если 
, то мы получаем тот самый случай, который мы уже разобрали, то есть деление в отношении 
или середину отрезка.
Как мы будем находить координаты точки ? Заметим, что векторы 
и 
сонаправлены. Значит, они отличаются в константу раз, причем эту константу мы знаем. Ведь на весь отрезок приходится 
частей, а на отрезок – 
частей.
Значит, вектор 
.
Так как 
, то 
.
Но тогда координаты точки находятся как сумма соответствующих координат вектора и точки . Найдем абсциссу, остальное – аналогично.
.
Значит, имеет координаты:
Разберем пример: 
, 
. Найти координаты точки , если 
. (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Решение: по нашим формулам: С
.
Ответ: 
.
Задача. Длина вектора
Пусть дан вектор 
. Тогда: 
.
Доказательство
Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями 
, 
и 
. (См. Рис. 5.)
Рис. 5. Иллюстрация к доказательству
Тогда вектор 
, так как их координаты попарно равны. (См. Рис. 6.)
Рис. 6.
Значит, 
, где 
– диагональ параллелепипеда. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений (по свойству): 
, что и требовалось доказать.
Коротко напомним: достаточно рассмотреть теоремы Пифагора для треугольника в основании параллелепипеда (таким образом найдем диагональ основания 
) и затем для треугольника 
. (См. Рис. 7.)
Рис. 7. Как найти диагональ параллелепипеда
Следствие. Как вы помните, координаты вектора – это разность координат его конца и начала. То есть если ; , то . Тогда получим, что 
.
Задачи на использования выведенных формул
Задача 1. Найти длину медианы 
треугольника 
, где 
, 
, 
.
Решение. Найдем координаты точки 
– середины отрезка 
. По формуле нахождения координат середины отрезка 
получаем, что 
.
По формуле нахождения длины вектора получаем, что 
.
Ответ: 
.
Задача 2. Определите вид треугольника и найдите его периметр, если 
, 
, 
.
Решение. По формуле , найдем длины , и :
Значит, треугольник равнобедренный, т. к. 
.
.
Тогда периметр 
.
Ответ: треугольник равнобедренный; .
Заключение
На этом уроке были разобраны три классические задачи координатного метода в стереометрии: мы научились находить координаты середины отрезка по координатам его концов: , длину вектора и, как следствие, длину любого отрезка: .
Список литературы
- Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
- А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
- Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Найти координаты точки
если известны координаты точки 
, середины отрезка и точки 
. - Вычислить длину вектора , если даны точки
и 
. - Вычислить длину вектора
, если 
; 
; 
.
