Пусть дан вектор . Тогда: .

Доказательство

Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями , и . (См. Рис. 5.)

Иллюстрация к доказательству

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству

Тогда вектор , так как их координаты попарно равны. (См. Рис. 6.)

Рис. 6.

Значит, , где – диагональ параллелепипеда. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений (по свойству): , что и требовалось доказать.

Коротко напомним: достаточно рассмотреть теоремы Пифагора для треугольника в основании параллелепипеда (таким образом найдем диагональ основания ) и затем для треугольника . (См. Рис. 7.)

Как найти диагональ параллелепипеда

Рис. 7. Как найти диагональ параллелепипеда

Следствие. Как вы помните, координаты вектора – это разность координат его конца и начала. То есть если ; , то . Тогда получим, что .